§ 22. Закони Кеплера. Закон всесвітнього тяжіння

Ще в давні часи було помічено, що на відміну від зірок, які незмінно зберігають своє взаємне розташування в просторі протягом століть, планети описують серед зірок найскладніші траєкторії. Для пояснення петлеподібного руху планет давньогрецький вчений К. Птоломей (II ст. Н. Е.), Вважаючи Землю розташованої в центрі Всесвіту, припустив, що кожна з планет рухається по малому колу (епіциклу), центр якого рівномірно рухається по великому колу, в центрі якого знаходиться Земля. Ця концепція отримала назву птоломєєвой геоцентричної системи світу.

На початку XVI ст. польським астрономом Н. Коперником (1473-1543) обгрунтована геліоцентрична система (див. § 5), згідно з якою руху небесних тіл пояснюються рухом Землі (а також інших планет) навколо Сонця і добовим обертанням Землі. Теорія і спостереження Коперника сприймалися як цікава фантазія.

До початку XVII століття більшість вчених переконалося, однак, в справедливості геліоцентричної системи світу. І. Кеплер (1571-1630), обробивши і уточнивши результати численних спостережень датського астронома Т. Бразі (1546-1601), виклав закони руху планет:

1. Кожна планета рухається по еліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце.

2. Радіус-вектор планети за рівні проміжки часу описує однакові площі.

3. Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих піввісь їх орбіт.

Згодом І. Ньютон, вивчаючи рух небесних тіл, на підставі законів Кеплера і основних законів динаміки відкрив загальний закон всесвітнього тяжіння: між будь-якими двома матеріальними точками діє сила взаємного тяжіння, прямо пропорційна добутку мас цих точок (m 1 і т 2) і обернено пропорційна квадрату відстані між ними (r 2):
(22.1)

Ця сила називається гравітаційної (або силою всесвітнього тяжіння). Сили тяжіння завжди є силами тяжіння і спрямовані вздовж прямої, що проходить через взаємодіючі тіла. Коефіцієнт пропорційності G називається гравітаційної постійної.

Закон всесвітнього тяжіння встановлений для тіл, що приймаються за матеріальні точки, т. Е. Для таких тіл, розміри яких малі в порівнянні з відстанню між ними. Якщо ж розміри взаємодіючих тіл порівнянні з відстанню між ними, то ці тіла треба розбити на точкові елементи, підрахувати за формулою (22.1) сили тяжіння між всіма попарно взятими елементами, а потім геометрично їх скласти (проинтегрировать), що є досить складною математичною задачею.

Вперше експериментальне підтвердження закону всесвітнього тяжіння для земних тіл, а також числове визначення гравітаційної постійної G проведено англійським фізиком Г. Кавендіш (1731-1810). Принципова схема досвіду Кавендіша, що застосував крутильні ваги, представлена на рис. 37. Легке коромисло А з двома однаковими кульками масою m = 729 г підвішено на пружною нитки В. На коромислі З укріплені на тій же висоті масивні кулі масою M = 158 кг. Повертаючи коромисло З навколо вертикальної осі, можна змінювати відстань між кулями з масами т і М. Під дією пари сил, прикладених до куль т з боку куль М, коромисло А повертається в горизонтальній площині, закручуючи нитка В до тих пір, поки момент сил пружності не врівноважує моменту сил тяжіння. Знаючи пружні властивості нитки, за виміряним кутом повороту можна знайти виникають сили тяжіння, а так як маси куль відомі, то і обчислити значення G.

Значення G, що приводиться в таблицях фундаментальних фізичних констант, приймається рівним 6,672010-11 Нм / кг 2, т. Е. Два точкових тіла масою по 1 кг кожна, що знаходяться на відстані 1 м один від одного, притягуються з силою 6,672010-11 H. Дуже мала величина G показує, що сила гравітаційної взаємодії може бути значною тільки в разі великих мас.

§ 23. Сила тяжіння і вага. невагомість

На будь-яке тіло, розташоване поблизу поверхні Землі, діє сила тяжіння F, під впливом якої і в згоді з другим законом Ньютона тіло почне рухатися з прискоренням вільного падіння g. Таким чином, в системі відліку, пов'язаної з Землею, на всяке тіло масою т діє сила

звана силою тяжіння.

Згідно фундаментального фізичного закону - узагальненому закону Галілея, все тіла в одному і тому ж полі тяжіння падають з однаковим прискоренням. Отже, в даному місці Землі прискорення вільного падіння однаково для всіх тіл. Воно змінюється поблизу поверхні Землі з широтою в межах від 9,780 м / с2 на екваторі до 9,832 м / с2 на полюсах. Це обумовлено добовим обертанням Землі навколо своєї осі, з одного боку, і сплюснутостью Землі - з іншого (екваторіальний і полярний радіуси Землі рівні відповідно 6378 і 6357 км). Так як відмінність значень g невелика, прискорення вільного падіння, яке використовується при вирішенні практичних завдань, приймається рівним 9,81 м / с2.

Якщо знехтувати добовим обертанням Землі навколо своєї осі, то сила тяжіння і сила гравітаційного тяжіння рівні між собою:

де М - маса Землі; R - відстань між тілом і центром Землі. Ця формула дана для випадку, коли тіло знаходиться на поверхні Землі.

Нехай тіло розташоване на висоті h від поверхні Землі, R 0 - радіус Землі, тоді

т. е. сила тяжіння з віддаленням від поверхні Землі зменшується.

У фізиці застосовується також поняття ваги тіла. Вагою тіла називають силу, з якою тіло внаслідок тяжіння до Землі діє на опору (або підвіс), яка утримує тіло від вільного падіння. Вага тіла проявляється тільки в тому випадку, якщо тіло рухається з прискоренням, відмінним від g, т. Е. Коли на тіло крім сили тяжіння діють інші сили. Стан тіла, при якому воно рухається тільки під дією сили тяжіння, називається станом невагомості.

Таким чином, сила тяжіння діє завжди, а вага проявляється тільки в тому випадку, коли на тіло крім сили тяжіння діють ще інші сили, внаслідок чого тіло рухається з прискоренням а, відмінним від g. Якщо тіло рухається в полі тяжіння Землі з прискоренням a  g, то до цього тіла прикладена додаткова сила N, яка задовольнить умові

Тоді вага тіла

т. е. якщо тіло покоїться або рухається прямолінійно і рівномірно, то а = 0 і P '= mg. Якщо тіло вільно рухається в полі тяжіння по будь-якій траєкторії і в будь-якому напрямку, то a = g і Р '= 0, т. Е. Тіло буде невагомим. Наприклад, невагомими є тіла, що знаходяться в космічних кораблях, що вільно рухаються в космосі.

§ 24. Поле тяжіння і то напруженість

Закон тяжіння Ньютона визначає залежність сили тяжіння від мас взаємодіючих тіл і відстані між ними, але не показує, як здійснюється ця взаємодія. Тяжіння належить до особливої ​​групи взаємодій. Сили тяжіння, наприклад, не залежать від того, в якому середовищі взаємодіючі тіла знаходяться. Тяжіння існує і в вакуумі.

Гравітаційна взаємодія між тілами здійснюється за допомогою поля тяжіння, або гравітаційного поля. Це поле породжується тілами і є формою існування матерії. Основна властивість поля тяжіння полягає в тому, що на будь-яке тіло масою т, внесене в це поле, діє сила тяжіння, т. Е.

(24.1)

Вектор g не залежить від m і називається напруженістю поля тяжіння. Напруженість поля тяжіння визначається силою, що діє з боку поля на матеріальну точку одиничної маси, і збігається за напрямком з діючою силою. Напруженість є силова характеристика поля тяжіння.

Поле тяжіння називається однорідним, якщо його напруженість у всіх точках однакова, і центральним, якщо у всіх точках поля вектори напруженості спрямовані уздовж прямих, які перетинаються в одній точці (А), нерухомою по відношенню до будь-якої інерціальній системі відліку (рис. 38 ).

Для графічного зображення силового поля використовуються силові лінії (лінії напруженості). Силові лінії вибираються так, що вектор напруженості поля спрямований по дотичній до силової лінії.

§ 25. Робота в поле тяжіння. Потенціал поля тяжіння

Визначимо роботу, що здійснюються силами поля тяжіння при переміщенні в ньому матеріальної точки масою т. Обчислимо, наприклад, яку треба затратити роботу для видалення тіла масою т від Землі. На відстані R (рис. 39) на дане тіло діє сила

При переміщенні цього тіла на відстань d R виконується робота

(25.1)

Знак мінус з'являється тому, що сила і переміщення в даному випадку протилежні за напрямком (рис. 39).

Якщо тіло переміщати з відстані R 1 до R 2, то робота

(25.2)

З формули (25.2) випливає, що витрачена робота в полі тяжіння не залежить від траєкторії переміщення, а визначається лише початковим і кінцевим положеннями тіла, т. Е. Сила тяжіння дійсно консервативні, а поле тяжіння є потенційним (див. § 12).

Відповідно до формули (12.2), робота, що здійснюються консервативними силами, дорівнює зміні потенційної енергії системи, взятому зі знаком мінус, т. Е.

З формули (25.2) отримуємо

(25.3)

Так як в формули входить тільки різниця потенційних енергій в двох станах, то для зручності приймають потенційну енергію при R 2 рівною нулю ( П2 = 0). Тоді (25.3) запишеться у вигляді П1 = - GmM / R 1. Так як перша точка була обрана довільно, то

величина

є енергетичною характеристикою поля тяжіння і називається потенціалом. Потенціал поля тяжіння  - скалярна величина, яка визначається потенційною енергією тіла одиничної маси в даній точці поля або роботою по переміщенню одиничного маси з даної точки поля у нескінченність. Таким чином, потенціал поля тяжіння, створюваного тілом масою М, дорівнює

(25.4)

де R - відстань від цього тіла до розглянутої точки.

З формули (25.4) випливає, що геометричне місце точок з однаковим потенціалом утворює сферичну поверхню (R = const). Такі поверхні, для яких потенціал постійний, називаються Еквіпотенціальна.

Розглянемо взаємозв'язок між потенціалом () поля тяжіння і його напруженістю (g). З виразів (25.1) і (25.4) випливає, що елементарна робота d A, що здійснюються силами поля при малому переміщенні тіла масою т, дорівнює

З іншого боку, d A = F d l (d l - елементарне переміщення). З огляду на (24.1), отримуємо, що dA = mg d l, т. Е. Mg 0 l = - m d , або

Величина d / d l характеризує зміну потенціалу на одиницю довжини в напрямку переміщення в полі тяжіння. Можна показати, що

(25.5)

де - градієнт скаляра  (див. (12.5)). Знак мінус у формулі (25.5) показує, що вектор напруженості g спрямований в бік зменшення потенціалу.

В якості приватного прикладу, виходячи з уявлень теорії тяжіння, розглянемо потенційну енергію тіла, що знаходиться на висоті h відносно Землі:

де R 0 - радіус Землі. Так як

(25.6)

то, з огляду на умову h R0, отримуємо

Таким чином, ми вивели формулу, яка співпадає з (12.7), яка постулировалась раніше.

§ 26. Космічні швидкості

Для запуску ракет в космічний простір треба в залежності від поставлених цілей повідомляти їм певні початкові швидкості, звані космічними.
Першим космічним (або кругової) швидкістю v 1 називають таку мінімальну швидкість, яку треба повідомити тілу, щоб воно могло рухатися навколо Землі по круговій орбіті, т. Е. Перетворитися на штучний супутник Землі. На супутник, що рухається по круговій орбіті радіусом r, діє сила тяжіння Землі, що повідомляє йому нормальне прискорення v / r. За другим законом Ньютона,

Якщо супутник рухається поблизу поверхні Землі, тоді r  R 0 (радіус Землі) і g = GM / R (див. (25.6)), тому у поверхні Землі

Першої космічної швидкості недостатньо для того, щоб тіло могло вийти зі сфери земного тяжіння. Необхідна для цього швидкість називається другою космічною. Другий космічної (або параболічної) швидкістю v 2 називають ту найменшу швидкість, яку треба повідомити тілу, щоб воно могло подолати тяжіння Землі і перетворитися в супутник Сонця, т. Е. Щоб його орбіта в поле тяжіння Землі стала параболічної. Для того щоб тіло (при відсутності опору середовища) могло подолати земне тяжіння і піти в космічний простір, необхідно, щоб його кінетична енергія дорівнювала роботі, яку здійснюють проти сил тяжіння:

звідки

Третьою космічною швидкістюv

3 називають швидкість, яку необхідно повідомити тілу на Землі, щоб воно покинуло межі Сонячної системи, подолавши тяжіння Сонця. Третя космічна швидкість v 3 = 16,7 км / с. Повідомлення тіл таких великих початкових швидкостей є складним технічним завданням. Її перше теоретичне осмислення розпочато К. Е. Ціолковським, їм була виведена вже розглянута нами формула (10.3), що дозволяє розраховувати швидкість ракет.

Вперше космічні швидкості були досягнуті в СРСР: перша - під час запуску першого штучного супутника Землі в 1957 р, друга - під час запуску ракети в 1959 р Після історичного польоту Ю. А. Гагаріна в 1961 р починається бурхливий розвиток космонавтики.

§ 27. неінерціальна системи відліку. сили інерції

Як вже зазначалося (див. § 5, 6), закони Ньютона виконуються тільки в інерційних системах відліку. Системи відліку, що рухаються щодо інерціальної системи з прискоренням, називаються неінерційній. У неінерційних системах закони Ньютона, взагалі кажучи, вже несправедливі. Однак закони динаміки можна застосовувати і для них, якщо крім сил, обумовлених впливом тіл один на одного, ввести в розгляд сили особливого роду - так звані сили інерції.

Якщо врахувати сили інерції, то другий закон Ньютона буде справедливий для будь-якої системи відліку: добуток маси тіла на прискорення в даній системі відліку дорівнює сумі всіх сил, що діють на дане тіло (включаючи і сили інерції). Сили інерції Fін при цьому повинні бути такими, щоб разом з силами F, зумовленими впливом тіл один на одного, вони повідомляли тілу прискорення а ', яким воно має в неінерційних системах відліку, т. Е.

(27.1)

Так як F = ma (a - прискорення тіла в інерціальній системі відліку), то

Сили інерції обумовлені прискореним рухом системи відліку щодо вимірюваної системи, тому в загальному випадку потрібно враховувати наступні випадки прояву цих сил: 1) сили інерції при прискореному поступальному русі системи відліку; 2) сили інерції, що діють на тіло, покоїться під обертається системі відліку; 3) сили інерції, що діють на тіло, що рухається під обертається системі відліку.

Розглянемо ці випадки.
1. Сили інерції при прискореному поступальному русі системи відліку. Нехай на візку до штатива на нитці підвішений кулька масою т (рис. 40). Поки візок спочиває або рухається рівномірно і прямолінійно, нитка, що утримує кульку, займає вертикальне положення і сила тяжіння Р врівноважується силою реакції нитки Т.

Якщо візок привести в поступальний рух з прискоренням а0, то нитка почне відхилятися від вертикалі назад до такого кута , поки результуюча сила F = P + T не забезпечить прискорення кульки, рівне а0. Таким чином, результуюча сила F направлена в сторону прискорення візка а0 і для усталеного руху кульки (кулька тепер рухається разом з візком з прискоренням а0) дорівнює F = mg tg = ma0, звідки

т. е. кут відхилення нитки від вертикалі тим більше, чим більше прискорення візка.

Щодо системи відліку, пов'язаної з прискорено рухається візком, кулька спочиває, що можливо, якщо сила F урівноважується рівній і протилежно спрямованої їй силою Fи, яка є нічим іншим, як силою інерції, так як на кульку ніякі інші сили не діють. Таким чином,
(27.2)

Прояв сил інерції при поступальному русі спостерігається в повсякденних явищах. Наприклад, коли поїзд набирає швидкість, то пасажир, що сидить по ходу поїзда, під дією сили інерції притискається до спинки сидіння. Навпаки, при гальмуванні поїзда сила інерції направлена ​​в протилежну сторону і пасажир віддаляється від спинки сидіння. Особливо ці сили помітні при раптовому гальмуванні поїзда. Сили інерції проявляються в перевантаженнях, які виникають під час запуску і гальмуванні космічних кораблів.

2. Сили інерції, що діють на тіло, покоїться під обертається системі відліку. Нехай диск рівномірно обертається з кутовою швидкістю  ( = const) навколо вертикальної осі, що проходить через його центр. На диску, на різних відстанях від осі обертання, встановлені маятники (на нитках підвішені кульки масою m). При обертанні маятників разом з диском кульки відхиляються від вертикалі на деякий кут (рис. 41).

В інерціальній системі відліку, пов'язаної, наприклад, з приміщенням, де встановлений диск, кулька рівномірно обертається по колу радіусом R (відстань від центру обертового кульки до осі обертання). Отже, на нього діє сила, рівна F = m  2 R і спрямована перпендикулярно осі обертання диска. Вона є рівнодіюча сили тяжіння Р і сили натягу нитки Т: F = P + T. Коли рух кульки встановиться, то F = mg tg = m  2 R, звідки

т. е. кути відхилення ниток маятників будуть тим більше, чим більше відстань R від центру кульки до осі обертання диска і чим більше кутова швидкість обертання .

Щодо системи відліку, пов'язаної з обертовим диском, кулька спочиває, що можливо, якщо сила F урівноважується рівній і протилежно спрямованої їй силою Fц, яка є нічим іншим, як силою інерції, так як на кульку ніякі інші сили не діють. Сила Fц, звана відцентровою силою інерції, спрямована по горизонталі від осі обертання диска і дорівнює
(27.3)

Дії відцентрових сил інерції піддаються, наприклад, пасажири в транспорті, що рухається на поворотах, льотчики при виконанні фігур вищого пілотажу; відцентрові сили інерції використовуються у всіх відцентрових механізмах: насосах, сепараторах і т. д., де вони досягають величезних значень. При проектуванні швидко обертових деталей машин (роторів, гвинтів літаків і т. Д.) Приймаються спеціальні заходи для врівноваження відцентрових сил інерції.

З формули (27.3) випливає, що відцентрова сила інерції, що діє на тіла в обертових системах відліку в напрямку радіусу від осі обертання, залежить від кутової швидкості обертання  системи відліку і радіуса R, але не залежить від швидкості тел щодо обертових систем відліку. Отже, відцентрова сила інерції діє в обертових системах відліку на всі тіла, віддалені від осі обертання на кінцеве відстань, незалежно від того, чи спочивають вони в цій системі (як ми припускали досі) або рухаються щодо неї з якоюсь швидкістю.

3. Сили інерції, що діють на тіло, що рухається під обертається системі відліку. Нехай кулька масою m рухається з постійною швидкістю v 'уздовж радіуса рівномірно обертового диска (v' = coast,  = const, v '). Якщо диск не обертається, то кулька, спрямований уздовж радіуса, рухається по радіальної прямої і потрапляє в точку А, якщо ж диск привести в обертання в напрямку стрілки, то кулька котиться по кривій O В (рис. 42, а), причому його швидкість v 'щодо диска змінює свій напрямок. Це можливо лише тоді, якщо на кульку діє сила, перпендикулярна швидкості v '.

Для того щоб змусити кульку котитися по диска, що обертається уздовж радіуса, використовуємо жорстко укріплений уздовж радіуса диска стрижень, на якому кулька рухається без тертя рівномірно і прямолінійно зі швидкістю v '(рис. 42, б). При відхиленні кульки стрижень діє на нього з деякою силою F. Щодо диска (що обертається системи відліку) кулька рухається рівномірно і прямолінійно, що можна пояснити тим, що сила F урівноважується прикладеної до кульки силою інерції Fк, перпендикулярної швидкості v '. Ця сила називається коріолісовой силою інерції.

Можна показати, що сила Коріоліса *

(27.4)

* Г. Кориолис (1792-1843) - французький фізик і інженер.

Вектор Fкперпендікулярен векторах швидкості v 'тіла і кутової швидкості обертання системи відліку відповідно до правила правого гвинта.

Сила Коріоліса діє тільки на тіла, що рухаються відносно обертової системи відліку, наприклад щодо Землі. Тому дією цих сил пояснюється ряд спостережуваних на Землі явищ. Так, якщо тіло рухається в північній півкулі на північ (рис. 43), то діюча на нього сила Коріоліса, як це випливає з виразу (27.4), буде спрямована вправо по відношенню до напрямку руху, т. Е. Тіло кілька відхилиться на схід . Якщо тіло рухається на південь, то сила Коріоліса також діє вправо, якщо дивитися у напрямку руху, т. Е. Тіло відхилиться на захід. Тому в північній півкулі спостерігається більш сильне підмивання правих берегів річок; праві рейки залізничних колій по руху зношуються швидше, ніж ліві, і т. д. Аналогічно можна показати, що в південній півкулі сила Коріоліса, що діє на рухомі тіла, буде направлена ​​вліво по відношенню до напрямку руху.

Завдяки силі Коріоліса падаючі на поверхню Землі тіла відхиляються на схід (на широті 60 ° це відхилення має становити 1 см при падінні з висоти 100 м). З силою Коріоліса пов'язано поведінку маятника Фуко, що стало свого часу одним із доказів обертання Землі. Якби цієї сили не було, то площину коливань хитається поблизу поверхні Землі маятника залишалася б незмінною (щодо Землі). Дія ж сил Коріоліса призводить до обертання площини коливань навколо вертикального напрямку.

Розкриваючи зміст Fіі у формулі (27.1), отримаємо основний закон динаміки для неінерційній систем відліку:

де сили інерції задаються формулами (27.2) - (27.4).

Звернемо ще раз увагу на те, що сили інерції викликаються не взаємодією тіл, а прискореним рухом системи відліку. Тому вони не підкоряються третім законом Ньютона, так як якщо на будь-яке тіло діє сила інерції, то не існує протидіє сили, яка додається до даного тіла. Два основні положення механіки, згідно з якими прискорення завжди викликається силою, а сила завжди обумовлена ​​взаємодією між тілами, в системах відліку, що рухаються з прискоренням, одночасно не виконуються.

Для будь-якого з тіл, що знаходяться в неінерціальної системи відліку, сили інерції є зовнішніми; отже, тут немає замкнутих систем. Це означає, що в неінерційних системах відліку не виконуються закони збереження імпульсу, енергії і моменту імпульсу. Таким чином, сили інерції діють тільки в неінерційних системах. У інерційних системах відліку таких сил не існує.

Виникає питання про «реальності» або «фіктивності» сил інерції. У ньютонівської механіці, згідно з якою сила є результат взаємодії тіл, на сили інерції можна дивитися як на «фіктивні», «зникаючі» в інерційних системах відліку. Однак можлива й інша їхня інтерпретація. Так як взаємодії тел здійснюються за допомогою силових полів, то сили інерції розглядаються як дії, яким піддаються тіла з боку якихось реальних силових полів, і тоді їх можна вважати «реальними». Незалежно від того, чи розглядаються сили інерції як «фіктивних» або «реальних», багато явищ, про які згадувалося в цьому параграфі, пояснюються за допомогою сил інерції.

Сили інерції, що діють на тіла в неінерціальної системи відліку, пропорційні їх масам і при інших рівних умовах повідомляють цих тіл однакові прискорення. Тому в «поле сил інерції» ці тіла рухаються абсолютно однаково, якщо тільки однакові початкові умови. Тим же властивістю володіють тіла, що знаходяться під дією сил поля тяжіння.

При деяких умовах сили інерції і сили тяжіння неможливо розрізнити. Наприклад, рух тіл в равноускоренном ліфті відбувається точно так само, як і в нерухомому ліфті, що висить в однорідному полі тяжіння. Ніякої експеримент, виконаний всередині ліфта, не може відокремити однорідне поле тяжіння від однорідного поля сил інерції.

Аналогія між силами тяжіння і силами інерції лежить в основі принципу еквівалентності гравітаційних сил і сил інерції (принципу еквівалентності Ейнштейна): всі фізичні явища в поле тяжіння відбуваються абсолютно так само, як і у відповідному полі сил інерції, якщо напруженості обох полів у відповідних точках простору збігаються, а інші початкові умови для розглядуваних тіл однакові. Цей принцип є основою загальної теорії відносності.
завдання

5.1. Два однакових однорідних кулі з однакового матеріалу, стикаючись один з одним, притягуються. Визначити, як зміниться сила тяжіння, якщо масу куль збільшити в n = 4 рази. [Зросте в 6,35 рази]

5.2. Щільність речовини деякої кулястої планети становить 3 г / см3. Яким повинен бути період обертання планети навколо власної осі, щоб на екваторі тіла були невагомими? [Т = = 1,9 ч]

5.3. Визначити, в якій точці (рахуючи від Землі) на прямій, що з'єднує центри Землі і Місяця, напруженість поля тяжіння дорівнює нулю. Відстань між центрами Землі і Місяця дорівнює R, маса Землі в 81 разів більше маси Місяця. [0,9 R]

5.4. Два однакових однорідних кулі з однакового матеріалу стикаються один з одним. Визначити, як зміниться потенційна енергія їх гравітаційної взаємодії, якщо масу куль збільшити в чотири рази. [Зросте в 14,6 рази]

5.5. Два супутника однакової маси рухаються навколо Землі по кругових орбітах радіусів R 1 і R 2. Визначити: 1) відношення повних енергій супутників (E 1 / E 2); 2) ставлення їх моментів імпульсу (L 1 / L 2). [1) R 2 / R 1; 2) ]

5.6. Вагон котиться вздовж горизонтальної ділянки дороги. Сила тертя становить 20% від ваги вагона. До стелі вагона на нитці підвішений кулька масою 10 г. Визначити: 1) силу, що діє на нитку; 2) кут відхилення нитки від вертикалі. [1) 0,10 Н; 2) 11 ° 35 ']

5.7. Тіло масою 1,5 кг, падаючи вільно протягом 5 с, потрапляє на Землю в точку з географічною широтою  = 45 °. З огляду на обертання Землі, намалювати і визначити всі сили, що діють на тіло в момент його падіння на Землю. [1) 14,7 Н; 2) 35,7 Н; 3) 7,57 мН]