п.5. ГЦТ системи з трьох и більше матеріальних точок.

Нехай А, В, С - система з трьох матеріальних точок з масами , і відповідно. Замінимо в цій системі дві матеріальні точки, наприклад, А і В матеріальною точкою D з масою , Яка є їх ГЦТ. координати точки D можна знайти за формулами (15) і (16). Тепер у нас залишилася система з двох матеріальних точок D і С з масами і відповідно. Позначимо через F їх ГЦТ. Координату точки F знову можна знайти за формулами (15) і (16), знаючи координати точок D і С. Точка F називається ГЦТ системи з трьох матеріальних точок А, В і С.

рис.5.

взагалі ГЦТ системи з n ( ) матеріальних точок визначається індукцією по їх кількості.

Визначення. ГЦТ системи з n ( ) матеріальних точок з масами називається ГЦТ системи з двох матеріальних точок: З і з масами і відповідно, де С - ГЦТ системи з -й матеріальних точок .

Теорема. (Про ГЦТ системи з n матеріальних точок.)

нехай - система з n ( ) матеріальних точок з масами відповідно і С є їх ГЦТ. Тоді для будь-якої точки Про вірно рівність:

. (17)

Доказ проводиться методом математичної індукції і надається читачеві.

Також, як і в разі двох матеріальних точок з формули (17) виходять такі формули.

Слідство. (Про ГЦТ системи з n матеріальних точок.)

нехай - система з n ( ) матеріальних точок з масами відповідно і С є їх ГЦТ. тоді

, (18)

, (19)

. (20)

п.6. ГЦТ трикутника.

Нехай АВС трикутник, який ми будемо розглядати як трикутну пластинку, виконану з однорідного матеріалу, товщиною якій ми пренебрежем. Відомо, що центром тяжіння такої пластинки є точка перетину медіан.

Розглянемо тепер систему з трьох матеріальних точок А, В і С з рівними масами, сума яких дорівнює масі трикутника, тобто

, (21)

де М - маса трикутника АВС.

з визначення ГЦТ системи з двох матеріальних точок випливає, що в даному випадку ГЦТ матеріальних точок А та В рівній маси лежить на середині відрізка АВ, яку ми позначимо літерою D. Дійсно, за формулою (13) маємо: і , Тобто D - середина АВ. Вважаємо далі, що .

рис.6

Нехай F - ГЦТ системи з двох матеріальних точок D і С. Тоді за формулою (13): , Звідки випливає, що , Тобто F є точкою перетину медіан.

З іншого боку, застосовуючи формули (18) - (20), отримуємо:

, , (22)

. (23)

Визначення. Точка перетину медіан трикутника називається ГЦТ цього трикутника.

Зауважимо, що точне визначення ГЦТ геометричних фігур буде дано в курсі математичного аналізу при вивченні кратних інтегралів.

Таким чином ми довели теорему.

Теорема. ГЦТ з трьох матеріальних точок з рівними масами збігається з ГЦТ трикутника з вершинами в даних точках.

Як наслідок, ми отримали формули (22), (23) для обчислення координат точки перетину медіан трикутника, по відомих координатах його вершин.

Можливо знайдуться відповіді тут: