Районна науково-практична конференція учнів

Фундаментально-пошукова

Дослідницька робота

фрактальна геометрія

Направляюча організація:

МБОУ «Середня загальноосвітня школа №2 з поглибленим вивченням окремих предметів» Бавлінского муніципального району РТ

Сунгатулліна Гульнара Габдулловна, 8 клас

Науковий керівник:

Гайфутдінова Римма Мефодіївна

Зміст.

1. Введення:

1.1 Актуальність теми .................................................................. ..2

1.2 Мета роботи ........................................................................... ..3

1.3 Основних терміни і поняття ...................................................... 4

1. 4 Властивості і види фракталів ......................................................... 4

1.5 Безліч Мандельброта ......................................................... ..4

1. 6 Сніжинка Коха ........................................................................ .4

2. Основна частина роботи:

2.1 Постановка проблеми ............................................... ....................................... 6

2.4 Фрактальна геометрія - геометрія природи ................................. ... 6

2.5 Висування гіпотези ............................................................... .8

2.6 Фрактальна теорія структури всесвіту ....................................... 8

3 Висновок .................................................................. ... ......... ... 9

4 Список літератури ..................................................................... .10

1. Введення

Багато людей вважають, що природні і гуманітарні науки витратило не переплітаються.

Але насправді все науки тісно пов'язані.

Я хочу довести собі і Вам, що природа має структуру, піддається математичним законам.

1. 1. Актуальність теми

Нинішнє захоплення фракталами в основному є наслідком роботи Бенуа Б. Мандельброта (співробітника Дослідницького центру імені Томаса Дж. Уотсона). Термін «фрактал» був введений Мандельброт в 1975 році; він походить від латинського слова fractus, що означає «ламати, розбивати». Поняття фракталів увірвалося в свідомість математиків, інших науковців та навіть людей, не пов'язаних з наукою, в 1983 році, коли була опублікована основна книга Мандельброта «Фрактальна геометрія природи».

Фрактали почали вивчатися відносно недавно - в кінці 19 століття. Причина, по якій фрактальная геометрія виникла так пізно, звичайно, полягає, серед іншого, у відсутності до 70-х років ХХ століття нормальних обчислювальних потужностей. Також вона може бути обумовлена ​​історичним і навколорелігійні спадщиною евклідової геометрії. Математики, вважаючи фрактали «неправильними» фігурами, вивчали тільки об'єкти евклідової геометрії.

Ось що про це написав у своїй книзі Бенуа Мандельброт: "Чому геометрію часто називають холодною і сухою? Одна з причин полягає в тому, що вона не здатна досить точно описати форму хмари, гори, дерева або берега моря. Хмари - це не сфери, лінії берега - це не кола, і кора не є гладкою, а блискавка не поширюється по прямій. Природа демонструє нам не просто вищий ступінь, а зовсім інший рівень складності. Число різних масштабів довжин в структурах завжди нескінченно. Існування цих структур кидає н м виклик у вигляді складного завдання вивчення тих форм, які Евклід відкинув як безглузді завдання дослідження морфології аморфного (форми аморфного). Математики, однак, знехтували цим викликом і вважали за краще все більше і більше віддалятися від природи, винаходячи теорії, які не відповідають нічому з того , що можна побачити або відчути ".

Як підступитися до моделювання каскадних водоспадів, турбулентних процесів, що визначають погоду або кордон розділу газових середовищ? Чи можна математично описати раптове виникнення хвилі паніки на фінансових ринках або навіть побудувати математичну модель соціальної поведінки? Тобто мова йде про завдання, для вирішення яких необхідно враховувати особливості топології тонкої структури об'єктів.

Відповідними засобами для дослідження поставлених питань представляються фрактали і математичний хаос.

1.2 Мета роботи

Основною метою моєї роботи є отримання нових знань в області фрактальної геометрії і висунення єдиної гіпотези про будову природних об'єктів.

Для виконання даної мети слід виконати ряд наступних завдань:

1) Вивчити фундаментальні закони фрактальної геометрії.

2) Переконатися на практиці в схожості математичних фракталів і природних об'єктів.

3) Зробити висновок.

1. 1. Основні терміни і поняття:

Рекурсія - ситуація, коли об'єкт є частиною самого себе.

Ітерація - організація обробки даних, при якій дії повторюються багато разів, не наводячи при цьому до викликів самих себе.

Топологія - розділ математики , Що вивчає в узагальненому вигляді явище безперервності .

Турбулентність - явище, яке полягає в тому, що при збільшенні швидкості течії рідини або газу в середовищі мимовільно утворюються численні нелінійні фрактальні хвилі і звичайні, лінійні.

Детермінованість - визначеність, ясність, конкретність. Детермінованість у вирішенні будь-якої практичної задачі або в алгоритмі означає, що спосіб вирішення завдання визначено однозначно в вигляді послідовності кроків. На будь-якому кроці не допускаються ніякі двозначності або невизначеності і незалежно від одиничних речей.

стохастичность - випадковість . стохастичний процес - це процес, поведінка якого не є детермінованим, і подальший стан такої системи описується як величинами, які можуть бути передбачені, так і випадковими.

1.3 Властивості і види фракталів

Що ж таке фрактал? У цього поняття немає строгого визначення. Зазвичай так називають геометричну фігуру, яка задовольняє одній або декільком з наступних властивостей:

Першим властивістю фракталів є їх нерегулярність. Якщо фрактал описувати функцією, то властивість нерегулярності в математичних термінах означатиме, що опція не диференційована, тобто не гладка ні в якій точці;

Друге властивість свідчить, що фрактал - це об'єкт володіє властивістю самоподібності. Це рекурсивна модель, кожна частина якої повторює в своєму розвитку розвиток всієї моделі в цілому і відтворюється в різних масштабах без видимих ​​змін. Однак, зміни все ж відбуваються, що в значній мірі може вплинути на сприйняття нами об'єкта.

Третім властивістю фракталів є те, що фрактальні об'єкти мають розмірність, відмінну від евклідової (інакше кажучи топологічна розмірність). Фрактальна розмірність, є показником складності кривої. Фрактальна розмірність - міра деталізації, зламана, нерівності фрактального об'єкта. Розмірність у фрактального об'єкта завжди більше топологічної (звичайної) розмірності і може бути (найчастіше і є) дробової.

Фрактали розрізняють трьох видів:

Геометричні фрактали отримують за допомогою деякої ламаної лінії або поверхні шляхом нескінченного повторення процедури заміни відрізків на ламану-генератор у відповідному масштабі.

Алгебраїчні фрактали отримують за допомогою нелінійних процесів в n -мірних просторах. При цьому, дуже прості алгоритми дозволяють отримувати дуже складні структури, які вражають своєю красою і незвичайною формою.

Стохастичні фрактали виходять в тому випадку, якщо в ітераційне процесі випадковим чином змінювати його параметри. При цьому виходять об'єкти дуже схожі на природні - несиметричні дерева, порізані берегові лінії і т.д.

1.4 Безліч Мандельброта

Безліч Мандельброта є алгебраїчним фракталом, одним з найвідоміших фракталів, в тому числі за межами математики, завдяки своїм кольоровим візуалізацій. І хоча дослідження подібних об'єктів почалися ще в минулому столітті, саме відкриття цієї множини і вдосконалення апаратних засобів машинної графіки в вирішальною мірою вплинули на розвиток фрактальної геометрії і теорії хаосу. Його фрагменти не строго подібні вихідного безлічі, але при багаторазовому збільшенні певні частини все більше схожі один на одного.

1.5 Сніжинка Коха

Вона виходить з трьох копій кривої Коха, яка вперше з'явилася в статті шведського математика Хельге фон Коха в 1904 році. Ця крива була придумана як приклад безперервної лінії, до якої не можна провести дотичну ні в одній точці. Лінії з такою властивістю були відомі і раніше (Карл Вейерштрасс побудував свій приклад ще в 1872 році), але крива Коха чудова простотою своєї конструкції. Не випадково його стаття називається «Про неперервну криву без дотичних, яка виникає з елементарної геометрії».

Малюнок і анімація відмінно показують, як по кроках будується крива Коха. Перша ітерація - просто початковий відрізок. Потім він ділиться на три рівні частини, центральна добудовується до правильного трикутника і потім викидається. Виходить друга ітерація - ламана лінія, що складається з чотирьох відрізків. До кожного з них застосовується така ж операція, і виходить четвертий крок побудови. Продовжуючи в тому ж дусі, можна отримувати все нові і нові лінії (всі вони будуть ламаними). А то, що вийде в межі (це вже буде уявний об'єкт), і називається кривою Коха.

2. Основна частина роботи:

У нашому повсякденному поданні найпростішими здаються речі, найбільш просто описувані евклідової геометрією. Стіл - це просто. Бетонний куб - ще простіше. Сталева куля здається самої втіленої простотою.

Але тоді запитаємо себе, чому більшість простих речей зроблені людиною? Чому дерева, риби, гриби або легені людини - неправильні сфери або куби, адже природа, ідеальний оптимізатор, повинна була знайти максимально просту форму.

Насправді форми живої природи дійсно досить прості, треба тільки поглянути на них зовсім з іншого боку - розвернутися на 180 °.

2.1 Постановка проблеми

Людство протягом багатьох років намагається зрозуміти структури оточуючого нас світу. І скільки люди не розмірковують про загадки світобудови, їх не покидає надія на поєднання протилежностей -на узгодження і встановлення єдності в різноманітності і зв'язку явищ.

2.2 Фрактальна геометрія - геометрія природи

Давайте спробуємо розібратися. Що спільного у дерева, берега моря, хмари або кровоносних судин у нас в руці? Існує одна властивість структури, властиве всім перерахованим предметів: вони самоподобни. Від гілки, як і від стовбура дерева, відходять відростки поменше, від них - ще менші, і т. Д., Тобто гілка подібна всьому дереву. Схожим чином влаштована і кровоносна система: від артерій відходять артеріоли, а від них - дрібні капіляри, по яких кисень надходить в органи і тканини. Подивимося на космічні знімки морського узбережжя: ми побачимо затоки і півострова; поглянемо на нього ж, але з висоти пташиного польоту: нам буде видно бухти і миси; тепер уявімо собі, що ми стоїмо на пляжі і дивимося собі під ноги: завжди знайдуться камінчики, які далі видаються в воду, ніж інші. Тобто берегова лінія при збільшенні масштабу залишається схожою на саму себе. Це властивість Бенуа Мандельброт назвав фрактальної.

Найближчий його приклад - прямо у вас в грудях. Серцевий ритм має яскраво фрактальну структуру. У нас відблиск НЕ божественної простоти і гармонії, яку ми вигадали самі, а початкового хаосу цьому всесвіті.

Щоб зовсім заплутатися і забути про наших звичних уявленнях про простому і складному, давайте повернемося до найвідомішої з фрактальних форм - безліч Мандельброта. Воно задається крихітної формулою:

Але ось у чому підступ: якщо ми виконаємо цю операцію безліч разів - ми отримаємо нескінченно складне безліч. Тобто ми отримаємо об'єкт, частини якого можна наближати і наближати, в ньому будуть всі нові і нові форми. У кожній точці цього об'єкта міститься цілий світ химерних форм, і в кожній точці цих світів
ті ж нескінченності.

Як з цим розібратися? Формула простіше нікуди (задовольняє наше евклидово уявлення про простоту), а сам об'єкт - нескінченно складний. Мандельброт пропонує поглянути на це скоріше з боку алгоритму, ніж з боку кінцевого об'єкта (адже його і немає як такого у фрактале, він нескінченно будується), - описувати не складність об'єкта, а складність процесу побудови.

І тут виявляється, що химерні природні форми вкрай прості. Знову візьмемо папороть - він росте з суперечки, в кожній клітині якої повинно бути записано, якої форми має бути готове рослина.

Уявіть собі, який довгою буде формула, що описує фінальну форму папороті з усіма його зламу і розгалуженнями - з боку форми папороть дуже складний.

Але для його побудови не обов'язково знати, що повинно вийти - досить знати простий алгоритм розгалуження.

Справа навіть не в складності опису. Форму фінального рослини в принципі не можна описати - вона схильна до варіації, ми ніколи не знаємо, яким в точності виросте наш папороть, підхід з боку алгоритмів - єдино можливий.

2.3 Висування гіпотези

Все, що нас оточує складається з найдрібніших частинок - атомів, схожих за будовою, структурі, але все ж неоднакових. Значить, ми можемо припустити, що все природне, що нас оточує - фрактал.

І ми є його частиною, значить, і самі ми з вами є фракталами.

2.4 Фрактальна теорія будови всесвіту

Будова атома подібно будовою Сонячної системи, будова Сонячної системи подібно будові галактики і т.д.

Все нескінченно. Всесвіт нескінченний так само, як нескінченний фрактал . Земля обертається навколо Сонця . Сонячна система рухається навколо центру Галактики, виконуючи повний оборот за 220 млн. Років. Галактика обертається навколо величезних розмірів чорної діри - Стрільця А. Від Землі до центру Галактики майже 30 тисяч світлових років. Скільки б ми не наближалися до центру, скільки б не віддалялися від нього - фрактал залишатиметься подібним собі. Всесвіт складається з нескінченного числа вкладених фрактальних рівнів матерії з подібними один одному характеристиками.

Фрактал нескінченний у всіх напрямках, т. Е. Збільшуючи або зменшуючи його ми бачимо одну і ту ж картинку, тоді згідно фрактальної теорії, немає різниці в якому напрямку рухатися - вгору або вглиб - вивчати космос або вивчати будову найдрібніших (поки що для нас) частинок.

Отримані висновки суперечать, зокрема, основам теорії Великого Вибуху. Відповідно до цієї теорії в перші моменти після народження Всесвіту матерія була розподілена рівномірно і безперервно. Більш того, за час, що минув з моменту Великого Вибуху, під дією гравітації фрактальні структури вселенського масштабу просто не могли встигнути утворитися.

Основні елементи фрактальної теорії або теорії нескінченної вкладеності матерії:

• У даній теорії відсутні елементарні частинки матерії як такі, речовина нескінченно ділимо, на противагу теорії атомізму , Знаходить мінімальну одиницю матерії ;

• Всесвіт складається з нескінченного числа вкладених фрактальних рівнів матерії з подібними один одному характеристиками;

• Кожен рівень матерії включає в себе носії з певним спектром розмірів і мас. матерія самоорганізується в стабільні стани;

• хід часу і обчислень набагато швидше на мікрорівні і повільніше на макрорівні;

• Кожен тип «елементарних» частинок (електрони, нуклони і т. Д.) Не перебуває з строго однакових по масі і розміру часток;

• Всесвіт вічна. При цьому, носії матерії постійно народжуються і потім трансформуються в носії свого і / або інших рівнів; Тим самим, теорія виходить за межі не тільки атомізму, а й великого вибуху , Що обмежує історію світобудови моментом виникнення Всесвіту;

• Простір має дробову розмірність, яка прагне до 3 (трьох). Точне число залежить від будови матерії і її розподілу в просторі. час в даній теорії - самостійна від простору координата , І є похідним від швидкості руху матерії.

В даний час теорії фрактальної Всесвіті не існує. Як вважають дослідники, спираючись на теорію відносності Ейнштейна, таку теорію створити можливо, однак від існуючих її буде відрізняти крайня складність. Але ця складність полягає в тому, що люди звикли до тієї дійсності, яку можуть побачити, яку вклали в них з дитинства. Можливо, людству потрібно буде ще багато років, щоб наблизитися до правильного уявлення про навколишній світ.

3. Висновок:

У всьому, що нас оточує, ми часто бачимо хаос, але насправді це не випадковість, а ідеальна форма, розгледіти яку нам допомагають фрактали. Природа - найкращий архітектор, ідеальний будівельник та інженер. Вона влаштована дуже логічно, і якщо десь ми не бачимо закономірності, це означає, що її потрібно шукати в іншому масштабі. Люди все краще і краще це розуміють, намагаючись багато в чому наслідувати природним формам. Інженери проектують акустичні системи у вигляді раковини, створюють антени з геометрією сніжинок і так далі. Впевнені, що фрактали зберігають в собі ще чимало секретів, і багато хто з них людині ще лише належить відкрити.

Прості речі пораждают складні структури. Дослідити складні явища в їх найпростіших втіленнях - в цьому часто і полягає роль математика.

4. Список літератури:

1. Бенуа Мандельброт «Фрактальна геометрія природи»

2. http://habrahabr.ru/post/208368/

3. http://elementy.ru/

4. http://mk.wikipedia.org/

5. http://www.ega-math.narod.ru/

6. http://wos.ru/