1. Точна формула для оплати щомісяця [ правити | правити код ]
2. Періодичне нарахування [ правити | правити код ]
3. Безперервне нарахування [ правити | правити код ]

Капіталізація відсотків - зарахування відсотків до суми вкладу, дозволяє в подальшому здійснювати нарахування відсотків на відсотки шляхом виконання подвійний операції - виплата відсотків і поповнення. нарахування відсотків на відсотки, що використовується в деяких видах банківських вкладів , Або при наявності боргу відсотки, які включаються в суму основного боргу, і на них також нараховуються відсотки. Те ж, що і складний відсоток . Відсотки за вкладом з капіталізацією можуть нараховуватися щодня, щомісяця, щоквартально і щорічно. Якщо їх не виплачують, то додають до суми вкладу. І в наступному періоді відсотки будуть нараховані вже на більшу суму.

Загальна сума, яку отримає вкладник, при розрахунку по складному відсотку буде дорівнює x ⋅ (1 + a) n {\ displaystyle x \ cdot (1 + a) ^ {n}} , Де x {\ displaystyle x} - початкова сума вкладених коштів, a> - 1 {\ displaystyle a> -1} - річна процентна ставка, n {\ displaystyle n} - термін вкладу в роках. При внесок за ставкою s% річних, після першого року зберігання капітал склав би x плюс s% від неї, тобто зріс би в (1 + s / 100) {\ displaystyle (1 + s / 100)} рази. На другий рік s% розраховувалися б вже не від однієї копійки, а від величини, більшої її в (1 + s / 100) рази. І, в свою чергу, дана величина збільшилася б теж за рік в (1 + s / 100) рази. Значить, в порівнянні з первинною сумою внесок за два роки зріс би в (1 + s / 100) 2 {\ displaystyle (1 + s / 100) ^ {2}} раз. За три роки - в (1 + s / 100) 3 {\ displaystyle (1 + s / 100) ^ {3}} раз.

До року N первинний внесок виріс би до величини в (1 + s / 100) N {\ displaystyle (1 + s / 100) ^ {N}} разів більше первинної.

У застосуванні до щомісячної капіталізації формула складного відсотка має вигляд:

x ⋅ (1 + s / (12 * 100)) m {\ displaystyle x \ cdot (1 + s / (12 * 100)) ^ {m}}

де x - початкова сума вкладу, s - річна ставка у відсотках, m - термін вкладу в місцях.

Доброю ілюстрацією є відома євангельська притча про те, як одна бідна вдова за часів Ісуса Христа принесла в жертву в храм останнє, що у неї було - дві найдрібніших монети, лепти. Якщо уявити собі, що в той час існували банки, і вона внесла б одну монетку в банк, то яка сума накопичилася б на банківському рахунку до сьогоднішнього дня, враховуючи, що банк забезпечує капіталізацію відсотків в сумі, скажімо, п'ять відсотків річних?

Наступні розрахунки якраз і ілюструють застосування складних відсотків. нам [ кому? ] Легше буде говорити, нема про лепту, а про копійку. Якщо ставка становить 5% річних, то після першого року зберігання капітал склав би копійку плюс 5% від неї, тобто зріс би в (1 + 0,05) рази. На другий рік 5% розраховувалися б вже не від однієї копійки, а від величини, більшої її в (1 + 0,05) рази. І, в свою чергу, дана величина збільшилася б теж за рік в (1 + 0,05) рази. Значить, в порівнянні з первинною сумою внесок за два роки зріс би в (1 + 0, 05) 2 {\ displaystyle (1 + 0,05) ^ {2}} раз. За три роки - в (1 + 0, 05) 3 {\ displaystyle (1 + 0,05) ^ {3}} раз.

До 2016 року первинний внесок виріс би до величини в (1 + 0, 05) 2016 {\ displaystyle (1 + 0,05) ^ {2016}} разів більше первинної. Величина (1 + 0, 05) 2016 {\ displaystyle (1 + 0,05) ^ {2016}} становить 5, 22 ⋅ 10 42 {\ displaystyle 5,22 \ cdot 10 ^ {42}} . При первинному внеску в одну копійку до 2012 року сума складе 5, 22 ⋅ 10 40 {\ displaystyle 5,22 \ cdot 10 ^ {40}} рублів, тобто понад 52 додецілліонов .

Первісна ідея застосування до старовинної притчі оцінок в складних відсотках належить польському математику Станіславу Ковалю і опублікована ним на початку сімдесятих років в книзі «500 математичних загадок» [1] .

Точна формула для оплати щомісяця [ правити | правити код ]

Точна формула для щомісячного платежу

C = P r / (1 - 1 / (1 + r) n) {\ displaystyle C = Pr / (1-1 / (1 + r) ^ {n})}

з = щомісячний платіж P = початкова сума r = щомісячна процентна ставка n = кількість періодів виплат

Періодичне нарахування [ правити | правити код ]

Функція суми складних відсотків є експоненціальною функцією з точки зору часу.

P (t) = P 0 (1 + r n) n t {\ displaystyle P (t) = P_ {0} (1+ {r \ over n}) ^ {nt}}

t = Загальний час в годax

n = число періодів нарощення на рік

г = Номінальна річна процентна ставка виражається у вигляді десяткового дробу. 6 т.д.:% = 0,06

nt = означає, що nt округляється до найближчого цілого числа.

Безперервне нарахування [ правити | правити код ]

Межею (1 + r n) n t {\ displaystyle (1+ {r \ over n}) ^ {nt}} при n → ∞ {\ displaystyle n \ rightarrow \ infty} є e r t {\ displaystyle e ^ {rt}} (Див. E (число) ), Таким чином, для безперервного нарахування, формула набуває вигляду:

P (t) = P 0 e r t {\ displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}}

Відомий американський інвестор Уоррен Баффет вважав складні відсотки невід'ємною частиною будь-якої стратегії довгострокового інвестування [2] .