1. Класифікація за типами поведінки [ правити | правити код ]
2. Тоталістічние клітинні автомати [ правити | правити код ]
3. Пов'язані визначення клітинних автоматів [ правити | правити код ]
4. Властивість оборотності [ правити | правити код ]
5. Простір правил клітинних автоматів [ правити | правити код ]
6. Клітинні автомати в природному середовищі [ правити | правити код ]
7. Комп'ютерні процесори [ правити | правити код ]
8. криптографія [ правити | правити код ]
9. Моделювання фізичних процесів [ правити | правити код ]
10. Фундаментальна фізика [ правити | правити код ]

open wikipedia design.

Клітинний автомат - дискретна модель, яка вивчалася в математики , теорії обчислюваності , фізики , теоретичної біології і мікромеханіки. Включає регулярну грати осередків, кожна з яких може перебувати в одному з кінцевого безлічі станів, таких як 1 і 0. Решітка може бути будь-якої розмірності. Для кожного осередку визначено безліч осередків, званих околицею. Наприклад, околиця може бути визначена як все осередки на відстані не більше 2 від поточної ( околиця фон Неймана рангу 2). Для роботи клітинного автомата потрібно завдання початкового стану всіх осередків і правил переходу осередків з одного стану в інший. На кожній ітерації, використовуючи правила переходу і стану сусідніх осередків, визначається новий стан кожного осередку. Зазвичай правила переходу однакові для всіх осередків і застосовуються відразу до всієї решітці.

Основний напрямок дослідження клітинних автоматів - алгоритмічна розв'язність тих чи інших завдань. Також розглядаються питання побудови початкових станів, при яких клітинний автомат буде вирішувати задану задачу.

Станіслав Улам , Працюючи в Лос-Аламоської національної лабораторії в 1940-і роки, вивчав зростання кристалів, використовуючи просту гратчасту модель [1] . У цей же час Джон фон Нейман , Колега Улама, працював над проблемою самовідтворюються систем. Первісна концепція фон Неймана грунтувалася на ідеї робота, що збирає іншого робота. Така модель відома як кінематична. Розробивши цю модель, фон Нейман усвідомив складність створення самовоспроизводящегося робота і, зокрема, забезпечення необхідного «запасу частин», з якого повинен будуватися робот. Улам запропонував фон Нейманом використовувати більш абстрактну математичну модель, подібну до тієї, що Улам використовував для вивчення росту кристалів. Таким чином виникла перша клітинно-автоматна система. Подібно решітці Улама, клітинний автомат фон Неймана двомірний, а самовоспроизводящийся робот описаний алгоритмічно. Результатом з'явився універсальний конструктор, що працює «всередині» клітинного автомата з околицею, що включає безпосередньо прилеглі осередки, і має 29 станів. Фон Нейман довів, що для такої моделі існує патерн, який буде нескінченно копіювати самого себе.

Також в 1940-і роки, Норберт Вінер і Артуро Розенблют ( англ. Arturo Rosenblueth ) Розробили клітинно-автоматну модель збудливою середовища . Метою було математичний опис поширення імпульсу в серцевих нервових вузлах. Їх оригінальна робота продовжує цитироваться в сучасних дослідженнях по аритмії і збудливим середах.

У 1960-і роки клітинні автомати вивчалися як приватний тип динамічних систем, і вперше була встановлена ​​їх зв'язок з областю символьної динаміки. У 1969 році Г. А. Хедланд ( англ. Gustav A. Hedlund ) Провів огляд результатів, отриманих в цьому напрямку. Найбільш значущим результатом стало опис набору правил клітинного автомата як безлічі безперервних ендоморфізм в сдвиговом просторі.

У 1970-ті здобула популярність двомірна клітинно-автоматна модель з двома станами, відома як гра «Життя» . винайдена Джоном Конвеем і популяризована Мартіном Гарднером , Вона використовує такі правила: якщо клітина має двох «живих» сусідів, вона залишається в колишньому стані. Якщо клітина має трьох «живих» сусідів, вона переходить в «живе» стан. В інших випадках клітина «вмирає». Незважаючи на свою простоту, система проявляє величезну різноманітність поведінки, коливаючись між очевидним хаосом і порядком. Одним із феноменів гри «Життя» є глайдери - поєднання клітин, що рухаються по сітці як єдине ціле. Можливо побудувати автомат, в якому глайдери будуть виконувати деякі обчислення, і згодом було показано, що гра «Життя» може емулювати універсальну машину Тьюринга .

У 1969 році німецький інженер Конрад Цузе опублікував книгу «обчислюваних космос», де висунув припущення, що фізичні закони дискретні за своєю природою, і що весь Всесвіт є гігантським клітинним автоматом. Це була перша книга з області, званої зараз цифровий фізикою .

У 1983 Стівен Вольфрам опублікував першу з серії статей, які досліджують дуже простий, але до сих пір невивчений клас клітинних автоматів, які називаються елементарними клітинними автоматами. Несподівана складність поведінки цих простих автоматів привела Вольфрама до припущення, що складність природних систем обумовлена ​​подібним механізмом. Крім того, протягом цього періоду Вольфрам формулює концепцію істинної випадковості і обчислювальної неприводимости, і висуває припущення, що правило 110 може бути універсальним - факт, доведений в 1990 році асистентом Вольфрама Метью Куком.

У 1987 році Брайан Сильверман ( англ. Brian Silverman ) Запропонував клітинний автомат Wireworld .

У 2002 році Вольфрам публікує 1280-сторінковий текст «Наука нового типу» (A New Kind of Science) , Де широко аргументує, що досягнення в області клітинних автоматів не є ізольованими, але досить стійкі і мають велике значення для всіх галузей науки.

11-го листопада 2002 року Пауль Чепмен ( англ. Paul Chapman) побудував зразок Життя, який є РММ (реєстрова Машиною Мінського ). Фактично РММ еквівалентна машині Тьюринга . Перша версія зразка була великою (268'096 живих осередків на площі 4,558 x 21,469 клітин) і повільної (20 поколінь / сек при використанні Life32 Иогана Бонтеса ( англ. Johan Bontes) на 400 MHz AMD K6-II). Таким чином, в грі Життя можна виконати будь-який алгоритм, який можна реалізувати на сучасному комп'ютері.

Двовимірний клітинний автомат можна визначити як безліч кінцевих автоматів на площині, помічених цілочисельними координатами (i, j), кожен з яких може перебувати в одному з станів σ i, j {\ displaystyle \ sigma _ {i, j}} :

σ i, j ∈ Σ ≡ {0, 1, 2 ... k - 1, k} {\ displaystyle \ sigma _ {i, j} \ in \ Sigma \ equiv \ {0,1,2 ... k -1, k \}} .

Зміна станів автоматів відбувається згідно з правилом переходу

σ i, j (t + 1) = φ (σ k, l (t) | (k, l) ∈ N (i, j)) {\ displaystyle \ sigma _ {i, j} (t + 1) = \ phi (\ sigma _ {k, l} (t) | (k, l) \ in {\ mathcal {N}} (i, j))} ,

де N (i, j) {\ displaystyle {\ mathcal {N}} (i, j)} - деяка околиця точки (i, j) {\ displaystyle (i, j)} . Наприклад, околиця фон Неймана визначається як

N N 1 (i, j) = {(k, l) | | i - k | + | j - l | ≤ 1} {\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {N} ^ {1} (i, j) = \ {(k, l) | ~ | ik | + | jl | \ leq 1 \}} ,

а околиця Мура

N M 1 (i, j) = {(k, l) | | i - k | ≤ 1, | j - l | ≤ 1} {\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {M} ^ {1} (i, j) = \ {(k, l) | ~ | ik | \ leq 1, | jl | \ leq 1 \ }} .

Число всіх можливих правил переходу визначається числом станів σ {\ displaystyle \ sigma} і кількістю сусідів n і становить

N r = σ σ n {\ displaystyle N_ {r} = \ sigma ^ {\ sigma ^ {n}}} [2]

Класифікація за типами поведінки [ правити | правити код ]

Стівен Вольфрам в своїй книзі A New Kind of Science запропонував 4 класу, на які все клітинні автомати можуть бути розділені в залежності від типу їх еволюції. Класифікація вольфраму була першою спробою класифікувати самі правила, а не типи поведінки правил окремо. В порядку зростання складності класи виглядають наступним чином:

• Клас 1: Результатом еволюції майже всіх початкових умов є швидка стабілізація стану і його гомогенність. Будь-які випадкові конструкції в таких правилах швидко зникають.
• Клас 2: Результатом еволюції майже всіх початкових умов є швидка стабілізація стану, або виникнення коливань . Більшість випадкових структур в початкових умовах швидко зникає, але деякі залишаються. Локальні зміни в початкових умовах надають локальний характер на подальший хід еволюції системи.
• Клас 3: Результатом еволюції майже всіх початкових умов є псевдо-випадкові, хаотичні послідовності. Будь-які стабільні структури, які виникають майже відразу ж знищуються оточуючим їх шумом . Локальні зміни в початкових умовах надають широке, невизначені вплив на хід усієї еволюції системи.
• Клас 4: Результатом еволюції майже всіх правил є структури, які взаємодіють складним і цікавим чином з формуванням локальних, стійких структур, які здатні виживати тривалий час. В результаті еволюції правил цього класу можуть виходити деякі послідовності Класу 2, описаного вище. Локальні зміни в початкових умовах надають широке, невизначені вплив на хід усієї еволюції системи. Деякі клітинні автомати цього класу мають властивість універсальності по Тьюрингу . Останній факт був доведений для Правила 110 і гри «Життя» .

Такого роду визначення носять здебільшого якісний характер і їх можна по різному інтерпретувати. Ось що вольфрам говорить про це:

Тоталістічние клітинні автомати [ правити | правити код ]

Існує спеціальний клас клітинних автоматів, званих тоталістічнимі. На кожному кроці еволюції клітинного автомата значення осередку одно якомусь цілому числу (зазвичай обирається з кінцевого безлічі ), А новий стан клітини визначається сумою значень клітин-сусідів і, можливо, попереднім станом клітини. Якщо стан клітини на новому етапі залежить від її попереднього стану, то такий клітинний автомат називається зовнішнім тоталістічним. гра Життя є прикладом зовнішнього тоталістіческого клітинного автомата з набором значень осередків 0, 1 {\ displaystyle {0,1}} .

Термін тоталістічний походить від англійського totalistic. У свою очеред total може бути переведено як сума, що і відображено в принципі дії цього типу автоматів, коли нове значення клітини залежить від суми значень інших клітин.

Пов'язані визначення клітинних автоматів [ правити | правити код ]

Існує безліч можливих узагальнень концепцій клітинних автоматів.

Клітинний автомат, що працює на сітці, компонентами якої є шестикутники, а не квадрати (правило 34/2)

Один з них - використання сітки не з квадратами ( гіперкуби в багатовимірному випадку), а з іншими геометричними фігурами в її основі. Наприклад, якщо поле представлено шестикутним паркетом , То шестикутники будуть клітинами. Однак іноді такі клітинні автомати виявлялися ідентичними клітинним автоматам на сітці з квадратними клітинами, тільки при цьому було необхідно ввести спеціальні правила відносин з клітинами-сусідами. Інший спосіб узагальнення - використання нерегулярної сітки (наприклад, у вигляді Мозаїка Пенроуза ).

Ще один спосіб - використання імовірнісних правил. Такі клітинні автомати називаються стохастическими . У таких системах задається ймовірність, що на наступному кроці клітина змінить свій колір на інший. Або, наприклад, в грі «Життя» додається правило, що клітка з певною ймовірністю може змінити свій колір на протилежний, а інші правила цього клітинного автомата залишаються без змін.

Визначення сусідства клітини може змінюватися з плином часу і / або простору. Наприклад, на першому кроці сусідами будуть горизонтально суміжні клітини, а на іншому - вертикально суміжні.

У клітинних автоматах на новий стан клітини не впливають нові стану суміжних клітин. Правило можна поміняти: можна зробити так, що, наприклад, в блоках 2 на 2 стану клітин залежать від стану клітин всередині блоку і від таких-же суміжних блоків.

існують безперервні клітинні автомати . У таких системах замість дискретного набору станів використовуються безперервні функції (зазвичай визначаються на проміжку [0, 1] {\ displaystyle [0,1]} ).

Властивість оборотності [ правити | правити код ]

Клітинний автомат називається оборотним, якщо для кожної поточної конфігурації існує тільки одна попередня конфігурація. Якщо розглядати клітинний автомат як функцію, яка буде показувати одну конфігурацію в іншу, то оборотність передбачає биективное цієї функції. Якщо клітинний автомат звернемо, то його зворотна еволюція також може бути описана клітинним автоматом. Конфігурації, які не мають попередніх, тобто недосяжні в даному клітинному автоматі, звуться «Сади Едему» .

Для одновимірних клітинних автоматів існують алгоритми визначення оборотності або незворотності. Однак для клітинних автоматів з двома і більше вимірами таких алгоритмів немає.

Оборотні клітинні автомати часто використовують для моделювання таких фізичних феноменів, як динаміка рідини і газу, оскільки вони підпадають під дію законів термодинаміки . Такі автомати спеціально створюються оборотними. Такі системи вивчалися Томасо Тоффолі (Tommaso Toffoli) і Норманом Марголусом (Norman Margolus). Існує кілька типів оборотних кінцевих автоматів. Найбільш відомими є клітинний автомат другого порядку і блоковий клітинний автомат . Обидві ці моделі йдуть кілька модифікованому варіанту визначення клітинного автомата, однак доведено, що вони можуть бути емулювати традиційним клітинним автоматом зі значно більшим розміром околиці і числом станів. Також, було доведено, що будь-який оборотний клітинний автомат може бути семуліровать блоковим клітинним автоматом.

Найпростішим нетривіальним клітинним автоматом буде одновимірний клітинний автомат з двома можливими станами, а сусідами клітини будуть суміжні з нею клітини. Такі автомати називаються елементарними. Три клітини (центральна, її сусіди) породжують 2 3 = 8 {\ displaystyle 2 ^ {3} = 8} комбінацій станів цих трьох клітин. Далі на основі аналізу поточного стану трійки приймається рішення про те, чи буде центральна клітина білої і чорної на наступному кроці. Всього існує 2 8 = 256 {\ displaystyle 2 ^ {8} = 256} можливих правил. Ці 256 правил кодуються відповідно до кодом Вольфрама - стандартному угодою, правилу, яке було запропоновано вольфрамом . У деяких статтях ці 256 правил були досліджені та порівняні. Найбільш цікавими представляються правила з номерами 30 і 110 . На двох зображеннях нижче представлені еволюції зазначених правил. Початкова умова для кожного автомата - одна центральна клітина - чорна, інші - білі. По осі Y {\ displaystyle Y} відкладається дискретне час, а по осі X {\ displaystyle X} відкладаються стану клітин автомата.

правило 30

Поточний стан 111 110 101 100 011 010 001 000 Новий стан центральної клітини 0 0 0 1 1 1 1 0

правило 110

Поточний стан 111 110 101 100 011 010 001 000 Новий стан центральної клітини 0 1 1 0 1 1 1 0

правило 161

Поточний стан 111 110 101 100 011 010 001 000 Новий стан центральної клітини 1 0 1 0 0 0 0 1

правило 30 проявляє поведінку класу 3, що означає, що еволюція простих початкових умов призводить до хаотичної , Що здається випадковою динаміці.

правило 110 , Як і гра «Життя» проявляє поведінку класу 4, яке не є повністю випадковим, але при цьому відсутня періодичність. При цьому виникають структури, які взаємодіють один з одним неочевидним, складним чином. Під час написання книги A New Kind of Science асистент Стівена Вольфрама Меттью Кук в 1994 році довів, що деякі з породжуваних правилом структур досить різноманітні, що володіти повнотою по Тьюрингу . Цей факт є інтерес, тому що в своїй суті правило 110 є простий одновимірної системою. Також це хороший аргумент на користь того, що системи класу 4 є в деякому сенсі універсальними. Меттью Кук представив своє доказ на конференції Інституту Санта-Фе в 1998 році , але вольфрам заборонив включати це доказ в паперову версію матеріалів конференції, тому що не хотів, щоб воно було опубліковано до видання книги A New Kind of Science . У 2004 році доказ Кука було опубліковано в журналі вольфраму «Complex Systems» (випуск 15, том 1), через 10 років після того як Кук вперше представив його. правило 110 було основою для побудови найменших Тьюринг-машин .

Правило 161 породжує фрактальні структури, які можна побачити на малюнку. Можна бачити вкладені подібні трикутники .

Простір правил клітинних автоматів [ правити | правити код ]

Найпростіший одновимірний клітинний автомат задається за допомогою восьми біт. Таким чином, всі правила клітинного автомата розташовуються на вершинах 8-мірного одиничного куба . Такий гиперкуб є простором всіх можливих одновимірних клітинних автоматів. Для одновимірного клітинного автомата, де сусідами однієї клітини є сусіди її сусідів необхідно 2 5 = 32 {\ displaystyle 2 ^ {5} = 32} біта і простором всіх можливих правил буде 32-мірний одиничний куб. Відстанню між двома клітинними автоматами може вважатися кількість кроків, необхідних для того, щоб перейти від одного правила до іншого по ребрах багатовимірного куба. Таку відстань називається відстанню Хеммінга .

Дослідження простору правил клітінніх автоматів дозволяє відповісті нам на питання, Який ставитися таким чином: чи около розташовані относительно один одного правила, Які породжують схожі один на одного (в плане динаміки) клітінні автомати. Графічне представлення гиперкуба вісокої розмірності на двовімірної площіні - дуже складне завдання. Однако на двовімірної площіні можна легко уявіті процес еволюції одновімірного клітінного автомата. При цьом по одній осі відкладається дискретних годину, а по Інший - відповідні стану клітінного автомата. У разі двовімірного клітінного автомата можна Додати третю вісь. При цьом две осі будут ВІДПОВІДАТИ станам клітінного автомата, а третя - дискретного часу. Процес еволюції такого автомата є Деяк трівімірну фігуру в пространстве. Детальніше Такі експеримент опісані в Книзі Стівена Вольфрама A New Kind of Science . Дослідження показали, що клітинні автомати, класифіковані як клас 1, мали меншу кількість одиничних біт в рядку правила і вони були сконцентровані приблизно в одному місці на гиперкубе. У той же час правила класу 3 мали більше (близько 50%) кількість одиничних біт.

Для просторів правил клітинних автоматів більшої розмірності було показано, що правила класу 4 розташовані між класами 1 і 3.

Це спостереження призводить до поняттю грані хаосу стосовно теорії клітинних автоматів і нагадує поняття фазового переходу в термодинаміки .

Клітинні автомати в природному середовищі [ правити | правити код ]

деякі живі організми виявляють властивості клітинних автоматів. розфарбування раковин ряду морських молюсків , Наприклад, пологів Conus або Cymbiola , Генерується природним одновимірним клітинним автоматом, результат еволюції якого схожий на правило 30 . Їх пігментні клітини розташовуються тонкою смужкою уздовж краю раковини. Секреція пігменту кожної клітини залежить від активує і ингибиторной активності сусідніх клітин. У процесі росту раковини смуга клітин формує кольоровий візерунок на її поверхні. Забарвлення лусочок ящірки Timon lepidus описується стохастичним клітинним автоматом [3] .

рослини регулюють приплив і відтік газоподібних речовин за допомогою механізму клітинних автоматів. Кожне продихи на поверхні листа діє подібно осередку клітинного автомата [4] .

Нейронні мережі також можуть бути використані як клітинні автомати. Складний рухомий візерунок на шкірі головоногих є відображенням патернів активування в мозку тварин.

Реакція Бєлоусова - Жаботинського являє собою просторово-часової хімічний осцилятор, який може бути змодельований клітинним автоматом. У 1950-х роках А. М. Жаботинський , Продовжуючи роботу Б. П. Білоусова , Виявив, що тонкий однорідний шар суміші певних хімічних речовин здатний утворювати рухомі геометричні візерунки, такі як концентричні кола і спіралі.

Клітинні автомати також використовуються в моделюванні екосистем і популяційної динаміки [5] .

Комп'ютерні процесори [ правити | правити код ]

Процесори на клітинних автоматах - фізична реалізація ідей клітинного автомата. Елементи процесора розміщені на рівномірній сітці однакових осередків. Стан осередків визначаються взаємодією з суміжними клітинами-сусідами. У свою чергу сусідство може визначатися по фон Нейманом або по Муру . Один з таких процесорів має вигляд систолічною матриці . Взаємодія частинок може бути реалізовано за допомогою електричного струму, магнетизму, вібрації (наприклад, фонони ), Або і використанням будь-якого іншого способу передачі інформації. Передача інформації може бути здійснена кількома способами, які не передбачають використання провідників для передачі інформації між елементами. Такий спосіб пристрою процесора дуже відрізняється від більшості пристроїв, які використовуються на сьогоднішній день і побудованих за принципом фон Неймана , В яких процесор розділений на кілька секцій, які можуть взаємодіяти між собою з використанням безпосередньо провідників.

криптографія [ правити | правити код ]

правило 30 було запропоновано в якості можливого блочного шифру для використання в криптографії . Двовимірні клітинні автомати використовуються для генерації випадкових чисел . Клітинні автомати запропоновані для використання в криптосистемах з відкритим ключем . У цьом випадка одностороння функція є результатом еволюції кінцевого клітинного автомата, первісний стан якого складно знайти . По заданому правилу легко знайти результат еволюції клітинного автомата, але дуже складно обчислити його попередні стани.

Моделювання фізичних процесів [ правити | правити код ]

Клітинні автомати використовуються в комп'ютерному моделюванні процесів рекристалізації [6] .

Фундаментальна фізика [ правити | правити код ]

Як вказує Andrew Ilachinski в своїй книзі Клітинні автомати (оригінальна назва - Cellular Automata), багато дослідників задавалися питанням є чи наш всесвіт клітинним автоматом. Andrew Ilachinski вказує, що сенс цього питання може бути зрозумілий краще за допомогою простого спостереження, яке можна зробити наступним чином. Розглянемо еволюцію Правила 110 : Якби це було щось на кшталт «інопланетної фізики» (оригінал - alien physics), то як можна було б описати виникають закономірності? Якби ви не знали, як отримані кінцеве зображення еволюції автомата, ви могли б припустити, що даний малюнок відображає деяким чином рух будь-яких частинок. Тоді робиться таке припущення: можливо, наш світ, добре описуваний фізикою елементарних частинок , Може бути клітинним автоматом на фундаментальному рівні.

Однак, закінчена теорія, що базується на цих твердженнях все ще далека від того, щоб вважатися закінченою (так само як і скільки-небудь загальноприйнятої). Захоплюючись і розвиваючи цю гіпотезу, дослідники приходять до цікавих висновків, як можна використовувати цю теорію для опису світу навколо. Марвін Мінський , піонер ІІ , Розробив спосіб для вивчення взаємодії частинок за допомогою чотиривимірного клітинного автомата. Конрад Цузе , Відомий як творець першого справді працюючого програмованого комп'ютера Z3 займався клітинним автоматами на нерегулярних решітках для дослідження питання інформаційного змісту частинок. Едвард Фредкін представив те, що він називає «гіпотезою кінцевої всесвіту» (оригінал - finite nature hypothesis). Сенс гіпотези полягає в тому, що

Фредкін і вольфрам - послідовні прихильники цифровий фізики .

Герард 'т Хоофт розробив теорію квантової фізики, що грунтується на клітинних автоматах [7] .

1. ↑ Pickover, Clifford A., Pickover, Clifford A. The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. - Sterling Publishing Company, Inc, 2009. - ISBN 978-1402757969 .
2. ↑ AGHoekstra, J.Kroc, P.Sloot. Simulating complex systems by cellular automata. Springer, 2010 року. ISBN 978-3-642-12202-6
3. ↑ Liana Manukyan, Sophie A. Montandon, Anamarija Fofonjka, Stanislav Smirnov & Michel C. Milinkovitch. A living mesoscopic cellular automaton made of skin scales // Nature. - 2017. - Vol. 544. - P. 173-179. - DOI : 10.1038 / nature22031 .
4. ↑ Peak, West and Messinger, Mott (2004). "Evidence for complex, collective dynamics and emergent, distributed computation in plants" . Proceedings of the National Institute of Science of the USA . 101 (4): 918-922. Bibcode : 2004PNAS..101..918P . DOI : 10.1073 / pnas.0307811100 . PMC 327117 . PMID 14732685 .
5. ↑ Andreas Deutsch and Sabine Dormann. 4.2 Biological Applications // Cellular Automaton Modeling of Biological Pattern Formation. - Springer Science + Business Media, 2017. - ISBN 978-1-4899-7980-3 .
6. ↑ KGF Janssens. An introductory review of cellular automata modeling of moving grain boundaries in polycrystalline materials // Mathematics and Computers in Simulation. - 2010. - Vol. 80. - P. 1361-1381. - DOI : 10.1016 / j.matcom.2009.02.011 .
7. ↑ 'т Хоофт, Герард. The Cellular Automaton Interpretation of Quantum Mechanics . - Springer International PublishingSpringer, 2016. - ISBN 978-3-319-41285-6 , 978-3-319-41284-9.