1. Цілі і методи [ правити | правити код ]
2. Підстави [ правити | правити код ]
3. Теоретико-множинний підхід [ правити | правити код ]
4. логіцизм [ правити | правити код ]
5. формалізм [ правити | правити код ]
6. інтуіціонізм [ правити | правити код ]
7. Конструктивна математика [ правити | правити код ]
8. кількість [ правити | правити код ]
9. перетворення [ правити | правити код ]
10. структури [ правити | правити код ]
11. Просторові відносини [ правити | правити код ]
12. Дискретна математика [ правити | правити код ]
13. Коди в системах класифікації знань [ правити | правити код ]

Математика ( грец. μᾰθημᾰτικά [1] <Μάθημα «вивчення; наука ») - наука про відносини між об'єктами, про які нічого не відомо, крім описують їх деяких властивостей, - саме тих, які в якості аксіом покладені в основу тієї чи іншої математичної теорії [2] . Історично склалася на основі операцій підрахунку, вимірювання та опису форми об'єктів [3] . математичні об'єкти створюються шляхом ідеалізації властивостей реальних або інших математичних об'єктів і записи цих властивостей на формальній мові. Математика не відноситься до природничих наук , Але широко використовується в них як для точного формулювання їх змісту, так і для отримання нових результатів. Математика - фундаментальна наука, що надає (загальні) мовні засоби інших наук; тим самим вона виявляє їх структурний взаємозв'язок і сприяє знаходженню найзагальніших законів природи [4] .

Ідеалізовані властивості досліджуваних об'єктів або формулюються у вигляді аксіом , Або перераховуються у визначенні відповідних математичних об'єктів. Потім за суворими правилами логічного висновку з цих властивостей виводяться інші справжні властивості ( теореми ). ця теорія в сукупності утворює математичну модель досліджуваного об'єкта. Таким чином, спочатку виходячи з просторових і кількісних співвідношень, математика отримує більш абстрактні співвідношення, вивчення яких також є предметом сучасної математики [5] .

Традиційно математика ділиться на теоретичну, що виконує поглиблений аналіз внутріматематіческіе структур, і прикладну, яка надає свої моделі іншим наукам і інженерним дисциплінам, причому деякі з них займають прикордонне з математикою положення. Зокрема, формальна логіка може розглядатися і як частина філософських наук , І як частина математичних наук; механіка - і фізика , І математика; інформатика , Комп'ютерні технології і алгоритміка відносяться як до інженерії , Так і до математичних наук і т. Д. У літературі було запропоновано багато різних визначень математики.

Слово «математика» походить від грец. μάθημα, що означає вивчення, знання, наука, і грец. μαθηματικός, спочатку означає сприйнятливий, встигає [6] , Пізніше що відноситься до вивчення, згодом відноситься до математики. Зокрема, μαθηματικὴ τέχνη, на латині ars mathematica, означає мистецтво математики. термін грец. μᾰθημᾰτικά в сучасному значенні цього слова «математика» зустрічається вже в працях Аристотеля (IV століття до н. Е.). На думку Фасмера в російську мову слово прийшло або через пол. matematyka, або через лат. mathematica [7] .

У текстах на російською мовою слово «математика» або «маѳематіка» зустрічається, принаймні, з XVII століття, наприклад, у Миколи Спафарія в «Книзі обраної коротко про дев'ять Мусах і про сім вільних художества» (1672 рік) [8]

Одне з перших визначень предмета математики дав Декарт [9] :

За радянських часів класичним вважалося визначення з Вікіпедія [11] : 464, дане А. Н. Колмогоровим :

це визначення Енгельса [12] ; правда, далі Колмогоров пояснює, що всі використані терміни треба розуміти в самому розширеному і абстрактному сенсі [11] : 476,477.

формулювання Бурбак [2] :

Герман Вейль песимістично оцінив можливість дати загальноприйняте визначення предмета математики:

1. Математика як навчальна дисципліна поділяється в Російської Федерації на елементарну математику , Досліджувану в середній школі і освічену дисциплінами:

і вищу математику , Досліджувану на нематематичних спеціальностях вузів. Дисципліни, що входять до складу вищої математики, варіюються в залежності від спеціальності.

Програма навчання за фахом математика [14] утворена наступними навчальними дисциплінами:

2. Математика як спеціальність наукових працівників Міністерством освіти і науки Російської Федерації [15] підрозділяється на спеціальності:

3. Для систематизації наукових робіт використовується розділ «Математика» [16] універсальної десяткової класифікації (УДК).

4. Американське математичне товариство ( AMS ) Виробило свій стандарт для класифікації розділів математики. Він називається Mathematics Subject Classification . Цей стандарт періодично оновлюється. Поточна версія - це MSC 2010 . Попередня версія - MSC 2000 .

Оскільки математика працює з надзвичайно різноманітними і досить складними структурами, система позначень в ній також дуже складна. Сучасна система запису формул сформувалася на основі європейської алгебраїчній традиції, а також потреб виникли пізніше розділів математики - математичного аналізу , математичної логіки , теорії множин та ін. Геометрія споконвіку користувалася наочним (геометричним ж) поданням. У сучасній математиці поширені також складні графічні системи запису (наприклад, комутативність діаграми ), Нерідко також застосовуються позначення на основі графів .

академіком А. Н. Колмогоровим запропонована така структура історії математики:

1. Період зародження математики, протягом якого був накопичений чималий фактичний матеріал;
2. Період елементарної математики, що починається в VI - V століттях до н. е. і завершується в кінці XVI століття ( «Запас понять, з якими мала справу математика до початку XVII століття , Становить і до теперішнього часу основу "елементарної математики", що викладається в початковій і середній школі »);
3. Період математики змінних величин, що охоплює XVII - XVIII століття , «Який можна умовно назвати також періодом" вищої математики "»;
4. Період сучасної математики - математики XIX - XX століття , В ході якого математикам довелося «поставитися до процесу розширення предмета математичних досліджень свідомо, поставивши перед собою завдання систематичного вивчення з досить загальної точки зору можливих типів кількісних відносин і просторових форм».

Розвиток математики почалося разом з тим, як людина стала використовувати абстракції скільки-небудь високого рівня. Проста абстракція - числа ; осмислення того, що два яблука і два апельсини, незважаючи на всі їхні відмінності, мають щось спільне, а саме займають обидві руки однієї людини, - якісне досягнення мислення людини. Крім того, що стародавні люди дізналися, як рахувати конкретні об'єкти, вони також зрозуміли, як обчислювати і абстрактні кількості, такі, як час : дні , сезони , року . З елементарного рахунку природним чином почала розвиватися арифметика : складання , віднімання , множення і поділ чисел.

Розвиток математики спирається на писемність і вміння записувати числа. Напевно, стародавні люди спочатку висловлювали кількість шляхом малювання рисок на землі або видряпували їх на деревині. стародавні інки , Не маючи іншої системи писемності, представляли і зберігали числові дані, використовуючи складну систему мотузяних вузлів, так звані стос . Існувало безліч різних систем числення . Перші відомі записи чисел були знайдені в папірусі Ахмеса , створеному єгиптянами середнього царства . Індська цивілізація розробила сучасну десяткову систему числення , Що включає концепцію нуля .

Історично основні математичні дисципліни з'явилися під впливом необхідності вести розрахунки в комерційній сфері, при вимірюванні земель і для передбачення астрономічних явищ і, пізніше, для вирішення нових фізичних задач. Кожна з цих сфер відіграє велику роль в широкому розвитку математики, що полягає у вивченні структур , просторів і змін.

Цілі і методи [ правити | правити код ]

Математика вивчає уявні, ідеальні об'єкти і співвідношення між ними, використовуючи формальну мову. У загальному випадку математичні поняття і теореми не обов'язково мають відповідність чого-небудь у фізичному світі. Головне завдання прикладного розділу математики - створити математичну модель , Досить адекватну досліджуваного реального об'єкта. Завдання математика-теоретика - забезпечити достатній набір зручних засобів для досягнення цієї мети.

Зміст математики можна визначити як систему математичних моделей та інструментів для їх створення. Модель об'єкта враховує не всі його риси, а тільки найнеобхідніші для цілей вивчення (ідеалізовані). Наприклад, вивчаючи фізичні властивості апельсина, ми можемо абстрагуватися від його кольору та смаку і представити його (нехай не ідеально точно) кулею. Якщо ж нам треба зрозуміти, скільки апельсинів вийде, якщо ми складемо разом два і три, - то можна абстрагуватися і від форми, залишивши у моделі тільки одну характеристику - кількість. абстракція і встановлення зв'язків між об'єктами в найзагальнішому вигляді - один з головних напрямків математичного творчості.

Інший напрямок, поряд з абстрагуванням - узагальнення . Наприклад, узагальнюючи поняття « простір »До простору n-вимірів. «Простір R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} , При n> 3 {\ displaystyle n> 3} є математичною вигадкою. Втім, досить геніальної вигадкою, яка допомагає математично розбиратися в складних явищах ». [17]

Вивчення внутріматематіческіе об'єктів, як правило, відбувається за допомогою аксіоматичного методу : Спочатку для досліджуваних об'єктів формулюються список основних понять і аксіом , А потім з аксіом за допомогою правил виведення отримують змістовні теореми , В сукупності утворюють математичну модель.

Підстави [ правити | правити код ]

Питання сутності та підстав математики обговорювався з часів Платона . Починаючи з XX століття спостерігається порівняльне згоду в питанні, що слід вважати суворим математичним доказом , Проте відсутня згода в розумінні того, що в математиці вважати спочатку істинним. Звідси випливають розбіжності як в питаннях аксіоматики і взаємозв'язку галузей математики, так і у виборі логічних систем , Якими слід при доказах користуватися.

Крім скептичного, відомі нижчеперелічені підходи до даного питання.

Теоретико-множинний підхід [ правити | правити код ]

Пропонується розглядати всі математичні об'єкти в рамках теорії множин, найчастіше з аксіоматикою Цермело - Френкеля (Хоча існує безліч інших, рівносильних їй). Даний підхід вважається з середини XX століття переважаючим, проте в дійсності більшість математичних робіт не ставлять завдань перевести свої твердження строго на мову теорії множин, а оперують поняттями і фактами, встановленими в деяких областях математики. Таким чином, якщо в теорії множин буде виявлено протиріччя, це не спричинить за собою знецінення більшості результатів.

логіцизм [ правити | правити код ]

Даний підхід передбачає сувору типізацію математичних об'єктів. Багато парадокси, уникаючі в теорії множин лише шляхом спеціальних прийомів, виявляються неможливими в принципі.

формалізм [ правити | правити код ]

Даний підхід передбачає вивчення формальних систем на основі класичної логіки .

інтуіціонізм [ правити | правити код ]

Інтуіціонізм передбачає в підставі математики інтуїционістському логіку , Більш обмежену в засобах докази (але, як вважається, і більш надійну). інтуіціонізм відкидає доказ від протилежного , Багато неконструктивні докази стають неможливими, а багато проблем теорії множин - безглуздими (неформалізуємим).

Конструктивна математика [ правити | правити код ]

Конструктивна математика - близьке до інтуїционізма протягом в математиці, що вивчає конструктивні побудови [ прояснити ]. Згідно з критерієм конструктивності - «існувати - значить бути побудованим». [18] Критерій конструктивності - більш сильне вимога, ніж критерій несуперечності. [19]

кількість [ правити | правити код ]

Основний розділ, який би розглядав абстракцію кількості - алгебра . Поняття «число» спочатку зародилося з арифметичних уявлень і відносилося до натуральним числам . Надалі воно, за допомогою алгебри , Було поступово поширене на цілі , раціональні , дійсні , комплексні і інші числа.

1, - 1, 1 2, 2 3, 0, 12, ... {\ displaystyle 1, \; - 1, \; {\ frac {1} {2}}, \; {\ frac {2} {3} }, \; 0 {,} 12, \; \ ldots} раціональні числа 1, - 1, 1 2, 0, 12, π, 2, ... {\ displaystyle 1, \; - 1, \; {\ frac {1} {2}}, \; 0 {,} 12, \; \ pi, \; {\ sqrt {2}}, \; \ ldots} речові числа - 1, 1 2, 0, 12, π, 3 i + 2, ei π / 3, ... {\ displaystyle -1, \; {\ frac {1} {2}}, \; 0 {,} 12, \; \ pi, \; 3i + 2, \; e ^ {i \ pi / 3}, \; \ ldots} 1, i, j, k, π j - 1 2 k, ... {\ displaystyle 1, \; i, \; j, \; k, \; \ pi j - {\ frac {1} {2}} k , \; \ dots} Комплексні числа кватерніони

числа - Натуральні числа - Цілі числа - раціональні числа - ірраціональні числа - алгебраїчні числа - трансцендентні числа - речові числа - Комплексні числа - Гіперкомплексні числа - кватерніони - октоніонов - седеніони - гіперреальну числа - сюрреального числа - p -адіческіе числа - математичні постійні - назви чисел - нескінченність - бази

перетворення [ правити | правити код ]

Явища перетворень і змін в найзагальнішому вигляді розглядає аналіз .

арифметика - векторний аналіз - аналіз - теорія міри - Диференційне рівняння - динамічні системи - Теорія хаосу

структури [ правити | правити код ]

теорія множин - Лінійна алгебра - Загальна алгебра (Включає, зокрема, теорію груп , універсальну алгебру , теорію категорій ) - алгебраїчна геометрія - теорія чисел - топологія .

Просторові відносини [ правити | правити код ]

Основи просторових відносин розглядає геометрія . тригонометрія розглядає властивості тригонометричних функцій . Вивченням геометричних об'єктів за допомогою математичного аналізу займається диференціальна геометрія . Властивості просторів, що залишаються незмінними при безперервних деформаціях і саме явище безперервності вивчає топологія .

геометрія - тригонометрія - алгебраїчна геометрія - топологія - Диференціальна геометрія - алгебраїчна топологія - Лінійна алгебра - фрактали - теорія міри .

Дискретна математика [ правити | правити код ]

Дискретна математика включає засоби дослідження об'єктів, здатних приймати тільки окремі (дискретні) значення (тобто об'єктів, які не здатні змінюватися плавно). [20]

комбінаторика - теорія множин - теорія решіток - математична логіка - теорія обчислюваності - криптографія - Теорія функціональних систем - теорія графів - теорія алгоритмів - Логічні обчислення - Інформатика .

Коди в системах класифікації знань [ правити | правити код ]

Існує велика кількість сайтів, що надають сервіс для математичних розрахунків. Більшість з них англомовні. [22] З російськомовних можна відзначити сервіс математичних запитів пошукової системи Nigma .

Математичні програми багатогранно:

• Пакети, орієнтовані на набір математичних текстів і на їх подальшу верстку ( TeX ).
• Пакети, орієнтовані на рішення математичних задач, чисельне моделювання та побудова графіків ( GNU Octave , Maple , Mathcad , MATLAB , Scilab ).
• електронні таблиці .
• Окремі програми або пакети програм, які використовують математичні методи (калькулятори, архіватори, протоколи шифрування / дешифрування, системи розпізнавання образів, кодування аудіо і відео).

популяризатори науки

1. ↑ μαθηματικα, μαθηματικα переклад (неопр.). www.classes.ru. Дата звернення 20 вересня 2017.
2. ↑ 1 2 Бурбак Н. Архітектура математики. Нариси з історії математики / Переклад І. Г. Башмакова під ред. К. А. Рибникова. М .: ІЛ, 1963. С. 32, 258.
3. ↑ mathematics | Definition & History (англ.), Encyclopedia Britannica. Дата звернення 20 вересня 2017.
4. ↑ Глава 2. Математика як мова науки (неопр.) (Недоступна посилання). Сибірський відкритий університет. Дата обігу 5 жовтня 2010 року. Читальний зал 2 лютого 2012 року.
5. ↑ Панов В. Ф. Математика древня і юна. - Изд. 2-е, виправлене. - М.: МГТУ ім. Баумана , 2006. - С. 581-582. - 648 с. - ISBN 5-7038-2890-2 .
6. ↑ Великий давньогрецький словник (αω) (неопр.) (Недоступна посилання). slovarus.info. Дата звернення 20 вересня 2017. Читальний зал 12 лютого 2013 року.
7. ↑ Математика (неопр.). classes.ru. Дата звернення 20 вересня 2017.
8. ↑ Словник російської мови XI-XVII ст. Випуск 9 / Гл. ред. Ф. П. Філін . - М.: наука , 1982. - С. 41.
9. ↑ Декарт Р. Правила для керівництва розуму. М.-Л .: Соцекгіз, 1936.
10. ↑ René Descartes 'Regulae ad directionem ingenii. Nach der Original-Ausgabe von 1701 herausgegeben von Artur Buchenau . - Leipzig , 1907. - P. 13.
11. ↑ 1 2 Математика / А. Н. Колмогоров // Велика Радянська Енциклопедія / Гл. ред. Б. А. Введенський . - 2-е вид. - М.: Державне наукове видавництво «Велика Радянська Енциклопедія», 1954. - Т. 26: Магнітка - Медуза. - С. 464-483. - 300 000 прим.
12. ↑ «Чиста математика має своїм об'єктом просторові форми і кількісні відношення дійсного світу» в джерелі: Маркс К., Енгельс Ф. Анти-Дюрінг // Твори. - 2-е вид. - М.: Державне видавництво політичної літератури, 1961. - Т. 20. - С. 37. - 130 000 прим.
    Оригінал цитати (нім.) - "Die reine Mathematik hat zum Gegenstand die Raumformen und Quantitätsverhältnisse der wirklichen Welt " - в джерелі: Friedrich Engels. Herrn Eugen Dühring's Umwälzung der Wissenschaft . - Leipzig , 1878. - P. 20.
13. ↑ Герман Вейль // Клайн М. Математика. втрата визначеності . - М.: Мир, 1984. - С. 16. архівна копія від 12 лютого 2007 на Wayback Machine
14. ↑ Державний освітній стандарт вищої професійної освіти. Спеціальність 01.01.00. «Математика». Кваліфікація - Математик. Москва, 2000 (Складено під керівництвом О. Б. Лупанова )
15. ↑ Номенклатура спеціальностей наукових працівників , Затверджена наказом Міністерства освіти та науки Росії від 25.02.2009 № 59
16. ↑ УДК 51 Математика
17. ↑ Я. С. Бугров, С. М. Нікольський. Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії. М .: Наука, 1988. С. 44.
18. ↑ Н. І. Кондаков. Логічний словник-довідник. М .: Наука, 1975. С. 259.
19. ↑ Г. І. Рузавин. Про природу математичного знання. - М., 1968.
20. ↑ Renze, John; Weisstein, Eric W. Discrete Mathematics (Англ.) На сайті Wolfram MathWorld .
21. ↑ Електронна бібліотека LibOk.Net - читати онлайн і скачати книги безкоштовно (неопр.). www.gsnti-norms.ru. Дата звернення 20 вересня 2017.
22. ↑ наприклад: http://mathworld.wolfram.com

енциклопедії Довідники

• А. А. Адамов, А. П. Віліжанін, Н. М. Гюнтер, А. Н. Захаров, В. М. Меліоранський, В. Ф. Точинський, Я. В. Успенський. Збірник завдань з вищої математики викладачів Інституту Інженерів Шляхів Сполучення. - СПб. , 1912.
• Шахно К. У. Довідник з елементарної математики. - Л., 1955.
• Г. Корн, Т. Корн. Довідник з математики для науковців та інженерів . - М., 1973.

книги Цікава математика

• Бобров С. П. чарівний дворога . - М.: Дитяча література, 1967. - 496 с.
• Дьюдени Г. Е. Кентерберійські головоломки; 200 знаменитих головоломок миру; П'ятсот двадцять головоломок.
• Керрол Л. Історія з вузликами; Логічна гра.
• Таунсенд Чарлз Баррі. Зоряні головоломки; Найвеселіші головоломки; Найважчі головоломки із старовинних журналів.
• Перельман Я. І. Цікава математика.