1. Звичайні дроби [ правити | правити код ]
2. Позначення звичайних дробів [ правити | правити код ]
3. Правильні і неправильні дроби [ правити | правити код ]
4. Змішані дробу [ правити | правити код ]
5. Складові дробу [ правити | правити код ]
6. Десяткові дроби [ правити | правити код ]
7. Значення дробу і основна властивість дробу [ правити | правити код ]
8. Приведення до спільного знаменника [ правити | правити код ]
9. порівняння [ правити | правити код ]
10. Додавання і віднімання [ правити | правити код ]
11. Множення і ділення [ правити | правити код ]
12. Перетворення між різними форматами запису [ правити | правити код ]

Цей термін має також інші значення див. дріб .

дріб в математики - число , Що складається з однієї або декількох рівних частин (часток) одиниці [1] . Дробу є частиною поля раціональних чисел . За способом запису дробу діляться на два формати: звичайні виду ± m n {\ displaystyle \ pm {\ frac {m} {n}}} і десяткові виду 0,123 4 {\ displaystyle 0 {,} 1234} .

У записі дробу виду X / Y {\ displaystyle X / Y} або X Y {\ displaystyle {\ frac {X} {Y}}} число перед або над рисою називається чисельником, а число після або під рискою - знаменником. Перший грає роль діленого , Другий - подільника .

Звичайні дроби [ правити | правити код ]

Звичайна (або проста) дріб - запис раціонального числа у вигляді ± m n {\ displaystyle \ pm {\ frac {m} {n}}} або ± m / n, {\ displaystyle \ pm m / n,} де n ≠ 0. {\ displaystyle n \ neq 0.} Горизонтальна або коса риска позначає знак ділення, в результаті чого виходить приватне. ділене називається чисельником дробу, а дільник - знаменником.

Позначення звичайних дробів [ правити | правити код ]

Є кілька видів записи звичайних дробів в друкованому вигляді:

Правильні і неправильні дроби [ правити | правити код ]

Правильною називається дріб, у якої модуль чисельника менше модуля знаменника. Дріб, яка не є правильною, називається неправильною, і представляє раціональне число, по модулю більше або дорівнює одиниці.

Наприклад, дробу 3 5 {\ displaystyle {\ frac {3} {5}}} , 7 8 {\ displaystyle {\ frac {7} {8}}} і 1 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}}} - правильні дроби, в той час як 8 3 {\ displaystyle {\ frac {8} {3}}} , 9 5 {\ displaystyle {\ frac {9} {5}}} , 2 1 {\ displaystyle {\ frac {2} {1}}} і 1 1 {\ displaystyle {\ frac {1} {1}}} - неправильні дроби. Будь-яке відмінне від нуля ціле число можна представити у вигляді неправильної звичайного дробу зі знаменником 1.

Змішані дробу [ правити | правити код ]

Дріб, записана у вигляді цілого числа і правильного дробу, називається змішаною дробом і розуміється як сума цього числа і дроби. Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді змішаної дробу. На противагу змішаної дробу, дріб, яка містить лише чисельник і знаменник, називається простий.

Наприклад, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 {\ displaystyle 2 {\ frac {3} {7}} = 2 + {\ frac {3} {7}} = {\ frac {14} {7}} + {\ frac {3} {7}} = {\ frac {17} {7}}} . У строгій математичній літературі такий запис за краще не використовувати через схожість позначення змішаної дробу з позначенням твори цілого числа на дріб, а також з-за більш громіздкою записи і менш зручних обчислень.

Складові дробу [ правити | правити код ]

Багатоповерхової, або складовою, дробом називається вираз, що містить кілька горизонтальних (або рідше - похилих) рис:

1 2/1 3 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ bigg /} {\ frac {1} {3}}} або 1/2 1/3 {\ displaystyle {\ frac {1/2} {1/3}}} або 12 3 4 26 {\ displaystyle {\ frac {12 {\ frac {3} {4}}} {26}}} .

Десяткові дроби [ правити | правити код ]

Десятковим дробом називають позиційну запис дробу. Вона виглядає наступним чином:

± a 1 a 2 ... a n, b 1 b 2 ... {\ displaystyle \ pm a_ {1} a_ {2} \ dots a_ {n} {,} b_ {1} b_ {2} \ dots}

Приклад: 3,141 5926 {\ displaystyle 3 {,} 1415926} .

Частина записи, яка стоїть до позиційної коми , є цілою частиною числа (дроби), а що стоїть після коми - дробової частиною . Будь-яку звичайну дріб можна перетворити в десяткову, яка в цьому випадку або має кінцеве число знаків після коми, або є періодичної дробом .

Взагалі кажучи, для позиційної записи числа можна використовувати не тільки десяткову систему числення, а й інші (в тому числі і специфічні, такі, як Фібоначчієва ).

Значення дробу і основна властивість дробу [ правити | правити код ]

Дріб є всього лише записом числа. Одному і тому ж числу можуть відповідати різні дроби, як звичайні, так і десяткові.

якщо помножити чисельник і знаменник дробу на однакову величину:

P R = C ⋅ P C ⋅ R {\ displaystyle {\ frac {P} {R}} = {\ frac {C \ cdot P} {C \ cdot R}}}

то значення дробу залишиться колишнім, хоча дроби - різні. наприклад:

3 4 = 9 12 = 12 16 {\ displaystyle {\ frac {3} {4}} = {\ frac {9} {12}} = {\ frac {12} {16}}}

І назад, якщо чисельник і знаменник заданої дроби мають загальний дільник , То обидві частини можна розділити на нього; така операція називається скороченням дробу. приклад:

12 16 = 12: 4 16: 4 = 3 4 {\ displaystyle {\ frac {12} {16}} = {\ frac {12: 4} {16: 4}} = {\ frac {3} {4} }} - тут чисельник і знаменник дробу скоротили на загальний дільник 4.

Нескоротного називається дріб, чисельник і знаменник якого взаємно прості , Тобто не мають спільних дільників, крім ± 1. {\ displaystyle \ pm 1.}

Для десяткового дробу запис майже завжди однозначна, проте є винятки. приклад :

0, 999 ... = 1 {\ displaystyle 0, \! 999 ... = 1} - дві різні дроби відповідають одному числу .

У цьому розділі розглядаються дії над звичайними дробами. Стосовно дій над десятковими дробами см. Десятковий дріб .

Приведення до спільного знаменника [ правити | правити код ]

Для порівняння, додавання і віднімання дробів їх слід перетворити (привести) до виду з одним і тим же знаменником. Нехай дано дві дробу: a b {\ displaystyle {\ frac {a} {b}}} і c d {\ displaystyle {\ frac {c} {d}}} . Порядок дій:

Після цього знаменники обох дробів збігаються (рівні M). Замість найменшого спільного кратного можна в простих випадках взяти в якості M будь-яке інше спільне кратне, наприклад, твір знаменників. Приклад див. Нижче в розділі Порівняння.

порівняння [ правити | правити код ]

Щоб порівняти дві звичайні дроби, слід привести їх до спільного знаменника і порівняти числители одержані дробів. Дріб з великим числителем буде більше.

Приклад. Порівнюємо 3 4 {\ displaystyle {\ frac {3} {4}}} і 4 5 {\ displaystyle {\ frac {4} {5}}} . НОК (4, 5) = 20. Наводимо дроби до знаменника 20.

3 4 = 15 20; 4 5 = 16 20 {\ displaystyle {\ frac {3} {4}} = {\ frac {15} {20}}; \ quad {\ frac {4} {5}} = {\ frac {16} { 20}}}

Отже, 3 4 <4 5 {\ displaystyle {\ frac {3} {4}} <{\ frac {4} {5}}}

Додавання і віднімання [ правити | правити код ]

Щоб скласти дві звичайні дроби, слід привести їх до спільного знаменника. Потім скласти чисельники, а знаменник залишити без змін:

1 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}}} + 1 3 {\ displaystyle {\ frac {1} {3}}} = 3 6 {\ displaystyle {\ frac {3} {6}}} + 2 6 {\ displaystyle {\ frac {2} {6}}} = 5 6 {\ displaystyle {\ frac {5} {6}}}

НОК знаменників (тут 2 і 3) дорівнює 6. Наводимо дріб 1 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}}} до знаменника 6, для цього чисельник і знаменник треба помножити на 3.
Вийшло 3 6 {\ displaystyle {\ frac {3} {6}}} . Наводимо дріб 1 3 {\ displaystyle {\ frac {1} {3}}} до того ж знаменника, для цього чисельник і знаменник треба помножити на 2. Вийшло 2 6 {\ displaystyle {\ frac {2} {6}}} .
Щоб отримати різницю дробів, їх також треба привести до спільного знаменника, а потім відняти числители, знаменник при цьому залишити без змін:

1 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}}} - 1 4 {\ displaystyle {\ frac {1} {4}}} = 2 4 {\ displaystyle {\ frac {2} {4}}} - 1 4 {\ displaystyle {\ frac {1} {4}}} = 1 4 {\ displaystyle {\ frac {1} {4}}}

НОК знаменників (тут 2 і 4) дорівнює 4. Наводимо дріб 1 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}}} до знаменника 4, для цього треба чисельник і знаменник помножити на 2. Отримуємо 2 4 {\ displaystyle {\ frac {2} {4}}} .

Множення і ділення [ правити | правити код ]

Щоб помножити два звичайні дроби, потрібно перемножити їх чисельники і знаменники:

a b ⋅ c d = a c b d. {\ Displaystyle {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ac} {bd}}.}

Зокрема, щоб помножити дріб на натуральне число, треба чисельник помножити на число, а знаменник залишити тим же:

2 3 ⋅ 3 = 6 3 = 2 {\ displaystyle {\ frac {2} {3}} \ cdot 3 = {\ frac {6} {3}} = 2}

У загальному випадку, чисельник і знаменник результуючої дробу можуть не бути взаємно простими, і може знадобитися скорочення дробу, наприклад:

5 8 ⋅ 2 5 = 10 40 = 1 4. {\ Displaystyle {\ frac {5} {8}} \ cdot {\ frac {2} {5}} = {\ frac {10} {40}} = {\ frac {1} {4}}.}

Щоб поділити одну звичайну дріб на іншу, потрібно помножити перший дріб на дріб, зворотний другий:

ab: cd = ab ⋅ dc = adbc, b, c, d ≠ 0. {\ displaystyle {\ frac {a} {b}}: {\ frac {c} {d}} = {\ frac {a} { b}} \ cdot {\ frac {d} {c}} = {\ frac {ad} {bc}}, \ quad b, c, d \ neq 0.}

наприклад:

1 2: 1 3 = 1 2 ⋅ 3 +1 = 3 2. {\ Displaystyle {\ frac {1} {2}}: {\ frac {1} {3}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {3} {1}} = {\ frac {3} {2}}.}

Перетворення між різними форматами запису [ правити | правити код ]

Щоб перетворити звичайну дріб в дріб десяткову, слід розділити чисельник на знаменник. Результат може мати кінцеве число десяткових знаків, але може бути і нескінченної періодичної дробом . приклади:

1 2 = 5 +10 = 0, 5 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} = {\ frac {5} {10}} = 0 {,} 5} 1 7 = 0,142 857142857142857 ⋯ = 0, (142857) {\ displaystyle {\ frac {1} {7}} = 0 {,} 142857142857142857 \ dots = 0 {,} (142857)} - нескінченно повторюється період прийнято записувати в круглих дужках.

Щоб перетворити десяткову дріб в дріб звичайну, має бути поданий її дробову частину у вигляді натурального числа, поділеній на відповідний ступінь 10. Потім до результату приписується ціла частина зі знаком, формуючи змішану дріб. приклад:

71,147 5 = 71 + 1475 10000 = 71 1475 10000 = 71 59 400 {\ displaystyle 71 {,} 1475 = 71 + {\ frac {1475} {10000}} = 71 {\ frac {1475} {10000}} = 71 {\ frac {59} {400}}}

Російський термін дріб, як і його аналоги в інших мовах, походить від лат. fractura, який, в свою чергу, є перекладом арабського терміна з тим самим значенням: ламати, розбиває. Фундамент теорії звичайних дробів заклали грецькі і індійські математики. Через арабів термін, в перекладі на латинську, перейшов до Європи, він згадується вже у Фібоначчі (1202 рік). Слова чисельник і знаменник ввів в обіг грецький математик Максим Плануд .

Дробу обчислювалися ще в Стародавньому Єгипті . До наших днів збереглися математичні джерела про єгипетських дробах : Математичний папірус Ринда (Бл. 1550 рік до н. Е.) [3] , Єгипетський математичний шкіряний сувій (XVII століття до н. Е.) [4] , Московський математичний папірус (Бл. 1850 рік до н.е.), Дерев'яна табличка з Ахмім ( англ. ) (Бл. 1950 рік до н.е.) [5] .

десяткові дроби вперше зустрічаються в Китаї приблизно з III століття н. е. при обчисленнях на лічильної дошці ( суаньпань ). В письмових джерелах десяткові дроби ще деякий час зображували в традиційному (НЕ позиційному) форматі, але поступово позиційна система витіснила традиційну [6] . Перська математик і астроном Джамшид Гіяс-ад-Дін аль-Каші (1380-1429) у своєму трактаті «Ключ арифметики» проголосив себе винахідником десяткових дробів, хоча вони зустрічалися в працях Ал-Уклідісі , Який жив на п'ять століть раніше [7] .

Спочатку європейські математики оперували тільки з звичайними дробами, а в астрономії - з шістдесяткова . Сучасне позначення звичайних дробів відбувається з Стародавній Індії - спочатку його запозичили араби , А потім, в XII - XVI століттях , - європейці. Спочатку в дробах не використовувати подрібнена риса: числа 1 4, 2 1 5 {\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}}, 2 {\ tfrac {1} {5}}} записувалися таким засобом: 1 4, 2 I 5. {\ Displaystyle {\ begin {smallmatrix} 1 \\ 4 \ end {smallmatrix}}, {\ begin {smallmatrix} 2 \\\ mathrm {I} \\ 5 \ end {smallmatrix}}.} Використання риси дробу стало постійним лише близько 300 років тому. В Європі першим вченим, який використовував і поширював індійську систему рахунку (відому як «арабські цифри»), в тому числі спосіб запису дробів, став італійський купець, мандрівник, син міського писаря - Фібоначчі (Леонардо Пізанський) [8] . Повноцінна теорія звичайних дробів і дій з ними склалася в XVI столітті ( Тарталья , Клавіус ).

У Європі перші десяткові дроби ввів Іммануїл Бонфіс близько 1350 року, але широке поширення вони отримали лише після появи твори Симона Стевина «Десята» (1 585). Стевін записував десяткові дроби складними способами: наприклад, число 42,53 записувалося як 4 0 2 5 1 3 2 {\ displaystyle {\ overset {\ underset {0} {}} {4}} 2 ~ {\ overset {\ underset { 1} {}} {5}} ~ {\ overset {\ underset {2} {}} {3}}} або 42 ⓪ 5 ① 3 ②, де 0 в колі або над рядком означав цілу частину, 1 - десяті, 2 - соті, і так далі. Кому для відділення цілої частини стали використовувати з XVII століття [8] .

На Русі дроби називали частками. У перших російських підручниках математики - в XVII столітті - дроби називалися ламаними числами [8] . Термін дріб, як аналог латинського fractura, використовується в «Арифметиці» Магницького (1703) як для звичайних, так і для десяткових дробів.

1. ↑ Математична енциклопедія, 1982 .
2. ↑ Дробная риса (Fraction bar, Solidus) - Довідник ПараТайп.
3. ↑ The Rhind Mathematical Papyrus (Англ.). British Museum. Дата обігу 13 січня 2019.
4. ↑ Clagett, Marshall. Ancient Egyptian Science: A Source Book. - Philadelphia: American Philosophical Society, 1999. - Т. 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. - С. 17-18, 25, 37-38, 255-257.
5. ↑ William K. Simpson. An Additional Fragment from the "Hatnub" Stela // Journal of Near Eastern Studies. - 1961. - Січень (т. 20, № 1). - С. 25-30.
6. ↑ Jean-Claude Martzloff. A History of Chinese Mathematics. Springer. 1 997. ISBN 3-540-33782-2 .
7. ↑ Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. - Princeton University Press, 2007. - P. 518. - ISBN 978-0-691-11485-9 .
8. ↑ 1 2 3 Математика: Учеб. для 5 кл. середн. шк. / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 4-е изд. - Чебоксари: Чув. кн. вид-во, 1997. - 320 с .: іл. - С. 202-203, 230.