§ 1. Визначення і завдання дослідження. Елемент обсягу, довільно взятий всередині якої-небудь середовища, частинки якої знаходяться в русі, укладає в даний момент часу певну кількість енергії. Ця енергія складається з двох частин: з живої сили руху частинок елемента обсягу і потенційної енергії, т. Е. Роботи, яка може бути віддана цими частками при поверненні їх з даного положення в деяке початкове, відповідне стійкій рівновазі. Під енергією елемента, я буду розуміти суму живих сил частинок елемента і його потенційної енергії, певної, як було сказано вище.

Закони переходу енергії з одного елемента середовища на інший визначалися досі тільки для приватних форм рухів. Завдання цієї праці полягає у встановленні на загальних засадах вчення про рух енергії в середовищах.

Розкриття загальної зв'язку між розподілом і рухом енергії в середовищах і переміщеннями їх часток, незалежно від приватних форм рухів, має дати можливість з відомих законів руху і розподілу енергії в тілі виводити висновки про роді рухів його частинок. Завдання такого роду мають важливість з огляду на прагнення сучасної фізики зводити всі явища природи на явища руху.

Найпростіші досвідчені дані, на які могли б спертися теоретичні дослідження сучасної фізики, що йдуть в зазначеному напрямку, представляють розподілу і руху енергії в різних явищах природи. Знаряддя досвідченого дослідження не настільки, однак, вдосконалені, щоб давати можливість визначати закони кожної із складових частин енергії окремо. Тому важливо знайти спосіб, який давав би можливість перейти від певних шляхом досвіду законів руху енергії до диференціальних рівнянь руху частинок тіла, яке, за припущенням, дає місце спостережуваного явища.

§ 2. Рівняння збереження енергії в елементі тіла. Уявімо собі однорідне середовище з певними межами, кінцевими або нескінченно великими. Нехай на частки цього середовища не діють зовнішні сили і прилив енергії до частинкам обумовлюється прийняттям або віддачею енергії середовищем через її кордони.

Якщо ми виділимо подумки елемент обсягу, зміна його енергії (т. Е. Суми його живої сили і потенційної енергії) згідно із законом збереження енергії може відбутися тільки на рахунок прибутку або втрат останньої в суміжних елементах. Математичне вираження зв'язку збільшення кількості енергії в елементі обсягу з її втратами в суміжних елементах і буде математичним виразом елементарного закону збереження енергії в середовищах.

Математичне вираження зазначеної зв'язку може бути нами почерпнуто з явища іншого роду, що спирається на закон, аналогічний закону збереження енергії. Розподіл речовини при рухах безперервної сжимаемой середовища підкоряється закону збереження речовини. Наскільки рух енергії і рух стискання речовини обумовлюються законом їх збереження, настільки ми маємо право уподібнювати рух енергії руху рухомого і стискається речовини.

Кількість енергії в елементі об'єму середовища, віднесене до одиниці об'єму, може бути названо щільністю енергії в даній точці середовища.

Ми можемо спостерігати за змінами, що відбуваються в кількості енергії і її швидкостях в одній і тій же точці простору або ж в одному і тому ж рухається кількості (масі) енергії.

Означаючи буквою E {\ displaystyle \ mathrm {E}} [1] щільність енергії в довільній точці середовища, т. е. приватна з кількості енергії, укладеного всередині нескінченно малого елемента об'єму, на цей елемент. Назвемо через l x {\ displaystyle l_ {x}} , L y {\ displaystyle l_ {y}} , L z {\ displaystyle l_ {z}} складають по прямокутним осях координат x {\ displaystyle x} , Y {\ displaystyle y} і z {\ displaystyle z} швидкості, з якою енергія рухається в даній точці середовища.

Уявімо собі елемент обсягу d x d y d z {\ displaystyle dx \, dy \, dz} . При введених нами позначеннях кількості енергії, що входять і виходять через різні сторони елемента, будуть:

Сума цих величин, що представляють струми енергії, дає нам віднесене до одиниці часу зміна кількості енергії E d x d y d z {\ displaystyle \ mathrm {E} \, dx \, dy \, dz} в елементі обсягу згодом t {\ displaystyle t} . Отже, роблячи скорочення,

Тут ∂ E ∂ t {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathrm {E}} {\ partial t}}} є приватна похідна від E {\ displaystyle \ mathrm {E}} по часу. вираз ( I ), Аналогічне з виразом закону збереження речовини в гідродинаміки, є вираз елементарного закону збереження енергії в тілах.

Означаючи через d E d t {\ displaystyle {\ frac {d \ mathrm {E}} {dt}}} повну похідну від E {\ displaystyle \ mathrm {E}} за часом, ми знаходимо наступний вираз для зміни щільності енергії з часом в одній і тій же рухається масі енергії:

Поєднуючи вираз ( 2 ) З ( I ), Знаходимо:

Аналогія між диференціальними законами руху енергії і руху речовини, взагалі, не має ніяких прав далі подібності рівнянь ( I ) І ( I ' ) З відповідними рівняннями гідродинаміки.

вираз ( I ) Відкриває зв'язок між кількістю енергії, віднесених до одиниці часу, втікає в середу через її кордони, і зміною кількості енергії в середовищі. Ми знаходимо:

де потрійний інтеграл поширюється на весь обсяг середовища, d σ {\ displaystyle d \ sigma} представляє елемент її межі і l n {\ displaystyle l_ {n}} є швидкість руху енергії по зовнішньої нормальний n {\ displaystyle n} до елементу кордону, т. е.

§ 3. Зв'язок законів руху енергії до законів часткових рухів середовищ. Диференціальні закони рухів частинок різних середовищ дають, як відомо, можливість встановити математичний вираз, що представляє закон збереження енергії для всього середовища. Якщо через δ J {\ displaystyle \ delta J} означаючи приріст живої сили в елементі об'єму середовища, через δ W {\ displaystyle \ delta W} - приріст роботи часткових сил елемента і через δ L {\ displaystyle \ delta L} - приріст роботи тисків на елементі d σ {\ displaystyle d \ sigma} а поверхні тіла, причому всі ці збільшення віднесені до одиниці часу, ми завжди маємо можливість по основним диференціальним законам рухів частинок середовища скласти такий вираз, причому передбачається, що зовнішні сили не діють на частинки середовища:

У цьому виразі d ω {\ displaystyle d \ omega} представляє елемент об'єму середовища, потрійний інтеграл поширюється на всю середу, а подвійний - на її поверхню. вираз ( 5 ) Представляє не що інше, як закон збереження енергії для всього середовища.

Для цього середовища подібний вираз може бути складено ще іншим чином, виходячи з рівняння I . Помноживши обидві частини цього рівняння на елемент обсягу d ω {\ displaystyle d \ omega} і інтегруючи на всю середу, ми знаходимо:

або, перетворюючи другий потрійний інтеграл,

Потрійний інтеграл, що входить в цей вираз, що представляє закон збереження енергії для всього середовища, повинен бути тотожний з потрійним інтегралом, що входять у вираз ( 5 ). Але подвійний інтеграл, що входить у вираз ( 7 ), Перетворюється на другий потрійний інтеграл вираження ( 6 ); отже, і подвійний інтеграл, що входить у вираз ( 5 ), Повинен перетворитися в потрійний інтеграл, тотожний з другим потрійним інтегралом, що входять у вираз ( 6 ). Математичне вираження цього тотожності і призведе до виразів, що зв'язують закони руху і розподілу енергії з частковими рухами середовищ.