поздовжній вигин

При розрахунках на міцність малося на увазі, що рівновага конструкції під дією зовнішніх сил є стійким. Однак вихід конструкції з ладу може статися через те, що рівновага конструкцій в силу тих чи інших причин виявиться нестійким. У багатьох випадках, крім перевірки міцності, необхідно виробляти ще перевірку стійкості елементів конструкцій.

Стан рівноваги вважається стійким, якщо при будь-якому можливому відхиленні системи від положення рівноваги виникають сили, які прагнуть повернути її в початкове положення.

Розглянемо відомі види рівноваги.

Нестійкий рівноважний стан буде в тому випадку, коли хоча б при одному з можливих відхилень системи від положення рівноваги виникнуть сили, які прагнуть видалити її від початкового положення.

Стан рівноваги буде байдужим, якщо при різних відхиленнях системи від положення рівноваги виникають сили, які прагнуть повернути її в початкове положення, але хоча б при одному з можливих відхилень система продовжує залишатися в рівновазі при відсутності сил, що прагнуть повернути її в початкове положення або видалити від цього положення.

При втраті стійкості характер роботи конструкції змінюється, так як цей вид деформації переходить в інший, більш небезпечний, здатний привести її до руйнування при навантаженні значно меншою, ніж це випливало з розрахунку на міцність. Дуже істотно, що втрата стійкості супроводжується наростанням великих деформацій, тому явище це більшою мірою кримінальна катастрофічності.

При переході від стійкого рівноважного стану до нестійкого конструкція проходить через стан байдужої рівноваги. Якщо знаходиться в цьому стані конструкції повідомити деякий невелике відхилення від початкового положення, то після припинення дії причини, що викликала це відхилення, конструкція в початкове положення вже не повернеться, але буде здатна зберегти придане їй, завдяки відхиленню, нове положення.

Стан байдужої рівноваги, що представляє як би кордон між двома основними станами - стійким і нестійким, називається критичним станом. Навантаження, при якій конструкція зберігає стан байдужої рівноваги, називається критичною навантаженням.

Експерименти показують, що зазвичай досить небагато збільшити навантаження в порівнянні з її критичним значенням, щоб конструкція через великі деформацій втратила свою несучу здатність, вийшла з ладу. У будівельній техніці втрата стійкості навіть одним елементом конструкції викликає перерозподіл зусиль у всій конструкції і нерідко спричиняє до аварії.

Вигин стержня, пов'язаний з втратою стійкості, називається поздовжнім вигином.

Критична сила. критичне напруга

Найменша величина стискає сили, при якій первісна форма рівноваги стрижня - прямолінійна стає нестійкою - викривленою, називається критичною.

При дослідженні стійкості форм рівноваги пружних систем перші кроки були зроблені Ейлером.

У пружною стадії деформування стрижня при напрузі, що не перевищують межу пропорційності, критична сила обчислюється за формулою Ейлера:

де Imin - мінімальний момент інерції перерізу стержня (обумовлено тим, що вигин стержня відбувається в площині з найменшою жорсткістю), проте виключення можуть бути тільки у випадках, коли умови закріплення кінців стрижня різні в різних площинах, ℓ - геометрична довжина стержня, μ - коефіцієнт приведеної довжини або коефіцієнт приведення (залежить від способів закріплення кінців стрижня), Значення μ наведені під відповідною схемою закріплення стрижнів

Критичне напруження обчислюється таким чином

, де стійкість,

а радіус інерції перерізу.

Введемо поняття граничної гнучкості.

Величина λ перед залежить тільки від виду матеріалу:

Якщо у стали 3 Е = 2 ∙ 1011Па, а σпц = 200МПа, то гранична гнучкість

Для дерева (сосна, ялина) гранична гнучкість λ перед = 70, для чавуну λ перед = 80

Таким чином, для стрижнів великої гнучкості λ≥λ перед критична сила визначається за формулою Ейлера.

У упругопластической стадії деформування стрижня, коли значення гнучкості знаходиться в діапазоні λ0≤λ≤λпр, (стрижні середньої гнучкості) розрахунок проводиться за емпіричними формулами, наприклад, можна використовувати формулу Ясинського Ф.С. Значення введених в неї параметрів визначені емпірично для кожного матеріалу.

σк = а-bλ, або Fкр = A (a - b λ)

де a і b - постійні, які визначаються експериментальним шляхом ( емпіричні коефіцієнти ) .Так, для сталі3 а = 310МПа, b = 1,14МПа.

При значеннях гнучкості стрижня 0≤λ≤λ0 (стрижні малої гнучкості) втрата стійкості не спостерігається.

Таким чином, межі застосовності формули Ейлера - застосовується тільки в зоні пружних деформацій.

Умова стійкості. Типи завдань при розрахунку на стійкість. Коефіцієнт поздовжнього вигину

Умовою стійкості стиснутого стрижня є нерівність:

Тут допустима напруга по стійкості [σ вуст] - непостійна величина, як це було в умовах міцності, а залежить від наступних факторів:

1) від довжини стержня, від розмірів і навіть від форми поперечних перерізів,

2) від способу закріплення кінців стрижня,

3) від матеріалу стержня.

Як і будь-яка допускається величина, [σ вуст] визначається відношенням небезпечного для стисненого стержня напруги до коефіцієнта запасу. Для стисненого стержня небезпечним є так зване критичне напруження σ кр, при якому стрижень втрачає стійкість первісної форми рівноваги.

Тому

Величину коефіцієнта запасу в задачах стійкості приймають дещо більшою, ніж значення коефіцієнта запасу міцності , Тобто якщо k = 1 ÷ 2, то k вуст = 2 ÷ 5.

Напруга, що допускається по стійкості можна пов'язати з допускаються напругою по міцності:

В цьому випадку ,

де σт - небезпечне з точки зору міцності напруга (для пластичних матеріалів це межа плинності, а для крихких - межа міцності на стиск σ нд).

Коефіцієнт φ <1 і тому називається коефіцієнтом зниження основного допустимої напруги, тобто [σ] по міцності, або інакше коефіцієнтом поздовжнього вигину.

З урахуванням сказаного умова стійкості стиснутого стрижня набуває вигляду:

Чисельні значення коефіцієнта φ вибираються з таблиць в залежності від матеріалу і величини гнучкості стрижня , Де:

μ - коефіцієнт приведеної довжини (залежить від способів закріплення кінців стрижня), ℓ - геометрична довжина стержня,

i - радіус інерції поперечного перерізу щодо тієї з головних центральних осей перерізу, навколо якої буде відбуватися поворот поперечних перерізів після досягнення навантаженням критичного значення.

Коефіцієнт φ змінюється в діапазоні 0≤φ≤1, залежить, як уже говорилося, як від фізико-механічних властивостей матеріалу, так і від гнучкості λ. Залежності між φ і λ для різних матеріалів представляються зазвичай в табличній формі з кроком Δλ = 10.

При обчисленні значень φ для стрижнів, що мають значення гнучкості не кратна числу 10, застосовується правило лінійної інтерполяції.

Значення коефіцієнта φ в залежності від гнучкості λ для матеріалів

На підставі умови стійкості вирішуються три види завдань:

1. Перевірка стійкості.
2. Підбір перерізу.
3. Визначення допустимої навантаження (або безпечної навантаження, або вантажопідйомності стержня: [F] = φ [σ] А.

Найбільш складним виявляється рішення задачі про підібравши розмір, оскільки необхідна величина площі перетину входить і в ліву, і в праву частину умови стійкості:

Тільки в правій частині цієї нерівності площа перетину знаходиться в неявному вигляді: вона входить в формулу радіуса інерції , Який в свою чергу включений в формулу гнучкості , Від якої залежить значення коефіцієнта поздовжнього вигину φ. Тому тут доводиться використовувати метод проб і помилок, одягнений у форму способу послідовних наближень:

1 спроба: задаємося φ1 з середньої зони таблиці, знаходимо , Визначаємо розміри перетину, обчислюємо , Потім гнучкість , По таблиці визначаємо і порівнюємо зі значенням φ1. якщо , То:

2 спроба: приймаємо , знаходимо , Визначаємо розміри перетину, обчислюємо , Потім гнучкість , По таблиці визначаємо , і якщо , То:

3 спроба: приймаємо , знаходимо , Визначаємо розміри перетину, обчислюємо , Потім гнучкість , По таблиці визначаємо , і т.д.

Процес наближень триває до тих пір, поки різниця не виявиться менше 5%.