1. рівняння нагрівання Хоча електрична машина має складний пристрій, в основу аналізу процесу її нагрівання...
2. Рішення рівняння нагрівання
3. Випадок нагрівання при Θ0 = 0
4. охолодження тіла
5. Загальний випадок нагрівання тіла
6. Графічний спосіб визначення T
7. заключні зауваження

рівняння нагрівання

Хоча електрична машина має складний пристрій, в основу аналізу процесу її нагрівання може бути покладена теорія нагрівання ідеального однорідного твердого тіла, під яким треба розуміти тіло, що володіє рівномірним розсіюванням тепла з усієї поверхні і нескінченно велику теплопровідність, внаслідок чого всі точки тіла мають однакову температуру. складемо диференціальне рівняння нагрівання такого тіла, для чого розглянемо його тепловий баланс.

Нехай в одиницю часу в тілі виділяється кількість теплоти Q. Тоді за нескінченно малий проміжок часу виділяється кількість теплоти дорівнюватиме Q × dt. Ця теплота частково акумулюється в тілі при підвищенні температури і частково віддається в навколишнє середовище.

Якщо за час dt температура тіла підвищилася на d Θ, то кількість що акумулюється за цей час теплоти одно G × c × d Θ, де G - маса тіла і c - його питома теплоємність.

Нехай в розглянутому нескінченно малому інтервалі часу перевищення температури тіла над температурою навколишнього середовища одно Θ. Тоді кількість теплоти, що віддається в навколишній простір за час dt внаслідок випромінювання, конвекції і теплопровідності, дорівнюватиме S × λ × Θ × dt, де S - площа тіла і λ - коефіцієнт тепловіддачі з поверхні.

На основі закону збереження енергії

Q

× dt = G × c × d Θ + S × λ × Θ × dt. (1)

Перш ніж приступити до вирішення рівняння нагрівання (1), кілька перетворимо його.

Стале перевищення температури і постійна часу нагрівання

Після закінчення досить тривалого часу (теоретично при t = ∞) температура тіла досягає сталого значення. Тоді d Θ = 0 і Θ = Θ∞. Підставивши ці значення у вираз (1), отримаємо

Q × dt = S × λ × Θ∞ × dt,

звідки

Стале перевищення температури Θ∞ тим більше, чим більше виділяється тепла і чим гірше умови її віддачі, тобто чим менше S × λ.

Розділимо обидві частини виразу (1) на S × λ, використовуємо рівність (2) і позначимо

Тоді замість (1) отримаємо

Θ∞ × dt = T × d Θ + Θ × dt. (4)

Розмірність всіх членів (4) повинна бути однакова - температура, помножена на час. Тому T має різницю часу, що можна встановити також за формулою (3). Величина T називається постійної часу нагрівання тіла ; згідно з формулою (3), вона тим більше, чим більше теплоємність тіла G × c і чим менше інтенсивність віддачі тепла, тобто менше S × λ.

Якщо визначити з рівності (2) S × λ і підставити в (3), то отримаємо ще один вислів для T:

Чисельник цього виразу дорівнює кількості теплоти, накопиченої в тілі при досягненні Θ = Θ∞.

Отже, відповідно до вираження (5) постійна часу нагрівання T дорівнює часу, протягом якого температура досягла б сталого значення Θ∞, якби була відсутня передача тепла в навколишнє середовище і все тепло, що виділяється накопичувалося в тілі.

Рішення рівняння нагрівання

У рівнянні (4) можна розділити змінні і привести його до виду

При інтегруванні рівняння (6) отримаємо

/ T = - ln (Θ∞ - Θ) + C. (7)

Постійна C визначається з початкової умови: при t = 0 тіло в загальному випадку має деяке перевищення температури Θ = Θ0. Підставивши вказані значення t і Θ в (7), знайдемо, що

C = ln (Θ∞ - Θ0).

Підставами це значення C в (7) і змінимо знаки. тоді

звідки остаточно для Θ = f (t) знаходимо

Θ = Θ∞ × (1 - e - t / T) + Θ0 × e - t / T. (8)

Випадок нагрівання при Θ0 = 0

У цьому випадку замість виразу (8) маємо

Θ = Θ∞ × (1 - e - t / T), (9)

чому відповідає експоненціальна крива нагрівання, зображена на малюнку 1, а. При малих t, коли і Θ мало, теплопередача в навколишній простір також мала, велика частина тепла накопичується в тілі і температура його зростає швидко, як це видно з малюнка 1, а. Потім зі зростанням Θ тепловіддача збільшується і зростання температури тіла сповільнюється. При t = ∞, відповідно до рівності (9), Θ = Θ∞.

На малюнку 1, а вказані значення Θ, що досягаються через інтервали часу T, 2 T, 3 T і 4 T. З цього малюнка видно, що тіло досягає практично усталеного перевищення температури через інтервал часу t = 4 T.

охолодження тіла

Якщо тіло має деяке початкове перевищення температури Θ ≠ 0, але Q = 0 і, отже, відповідно до вираження (2) Θ∞ = 0, то відбувається охолодження тіла від Θ = Θ0 до Θ = Θ∞ = 0.

Підставивши в (8) Θ∞ = 0, отримаємо рівняння охолодження тіла

Експоненціальна крива охолодження тіла відповідно до рівняння (10) представлена на малюнку 1, б. Спочатку, коли Θ і відповідно також тепловіддача великі, охолодження йде швидко, а в міру зменшення Θ охолодження сповільнюється. При t = ∞ буде Θ = 0.

Малюнок 1. Криві нагрівання (а) і охолодження (б) ідеального однорідного твердого тіла

Загальний випадок нагрівання тіла

Загальний випадок нагрівання тіла, описуваний рівнянням (8), на підставі формул (9) і (10) можна розглядати як накладення двох режимів: 1) нагрівання тіла від початкового перевищення температури Θ = 0 до Θ = Θ∞ і 2) охолодження тіла від Θ = Θ0 до Θ = 0. На малюнку 2 крива 3 являє собою криву нагрівання, побудовану за рівнянням (8). Цю криву можна отримати шляхом додавання ординат кривих 1 і 2, відповідних рівнянь (9) і (10).

Графічний спосіб визначення T

Знайдемо подкасательную бв (рисунок 1, а), що відтинається на асимптоти Θ = Θ∞ дотичній до кривої Θ = f (t). З малюнка 1, а слід, що

де α - кут нахилу дотичної до кривої Θ = f (t).

Як відомо,

Але, відповідно до виразу (6),

Підставивши tg α з (12) в (11), отримаємо

бв = T.

Таким чином, подкасательная до будь-якій точці кривої нагрівання або охолодження дорівнює постійної часу нагрівання T. Цим властивістю кривих Θ = f (t) можна скористатися для графічного визначення T, якщо є крива Θ = f (t), знята, наприклад, досвідченим шляхом. На малюнку 1, б і 2 показаний спосіб визначення T при побудові дотичній до початкової кривої.

заключні зауваження

Вище була викладена теорія нагрівання ідеального однорідного твердого тіла. Насправді електрична машина не є такого тіла, так як вона складається з різних частин, що володіють кінцевої теплопровідністю, причому теплопровідність електричної ізоляції досить мала. Тому окремі частини машини (обмотка, сердечники і інші) мають різні температури. У зв'язку з цим більш правильно було б розглядати електричну машину як сукупність кількох однорідних тіл, між якими існує теплообмін. У дійсних умовах величина T також не цілком постійна, так як коефіцієнти тепловіддачі залежать певною мірою від температури. Крім того, повітря або інший охолоджувальний агент при протіканні по вентиляційних каналах нагрівається, і тому температура охолоджуючої середовища для різних ділянок охолоджувальної поверхні має різні значення.

Таким чином, криві нагрівання та охолодження не є, строго кажучи, експонентними. Однак в більшості практичних випадків ми не робимо істотних помилок, вважаючи їх експонентними, тобто застосовуючи викладену вище теорію нагрівання ідеального однорідного тіла.

Джерело: Вольдек А. І., "Електричні машини. Підручник для технічних навчальних закладів" - 3-е видання, перероблене - Ленінград: Енергія, 1978 - 832с.