Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії

Рівняння (нерівність) з параметрами - математичне рівняння ( нерівність ), Зовнішній вигляд і рішення якого залежить від значень одного або декількох параметрів.

Вирішити рівняння з параметром означає:

1. Знайти всі системи значень параметрів, при яких дане рівняння має рішення.
2. Знайти всі рішення для кожної знайденої системи значень параметрів, тобто для невідомого і параметра повинні бути вказані свої області допустимих значень.

Рівняння з параметром можуть бути як лінійними, так і нелінійними.

Приклад лінійного рівняння з параметром:

a x + 1 = 4, {\ displaystyle a \, x + 1 = 4,}

Приклад нелінійного рівняння з параметром:

log x 2 a + 3 7 - x = 5, {\ displaystyle {\ mbox {log}} _ {x ^ {2}} {\ frac {a + 3} {7-x}} = 5,}

де x {\ displaystyle x} - незалежна змінна a {\ displaystyle a} - параметр.

Аналогічно поділяються і нерівності. Нижче будуть представлені приклади рішень рівнянь і нерівностей з параметрами.

Приклад 1.

При якому a {\ displaystyle a} квадратне рівняння x 2 + 3 xa = 0 {\ displaystyle {x ^ {2}} + 3 \, xa = 0} має рівно один корінь?

Рішення. Будь-яке квадратне рівняння має одне рішення, коли його дискримінант дорівнює нулю. Отже, дискриминант нашого рівняння: D = 9 + 4 a {\ displaystyle D = 9 + 4 \, a} . Далі маємо: 9 + 4 a = 0 {\ displaystyle 9 + 4 \, a = 0} , Звідки a = - 9 4 {\ displaystyle a = - {\ tfrac {9} {4}}} .

a = - 9 4 {\ displaystyle a = - {\ frac {9} {4}}} . Приклад 2. При якому a {\ displaystyle a} система рівнянь :

{X 2 + y 2 - 2 ax - 2 y - 8 + a 2 = 0, x 2 + y 2 - 4 x - 2 y + 1 = 0 {\ displaystyle {\ begin {cases} x ^ {2} + y ^ {2} -2ax-2y-8 + a ^ {2} = 0, \\ x ^ {2} + y ^ {2} -4x-2y + 1 = 0 \ end {cases}}} .

має рівно два рішення?

Рішення. Спочатку треба перетворити два рівняння системи, виділивши в них повні квадрати: {x 2 + y 2 - 2 ax - 2 y - 8 + a 2 = 0, x 2 + y 2 - 4 x - 2 y + 1 = 0 {\ displaystyle {\ begin {cases} x ^ {2} + y ^ {2} -2ax-2y-8 + a ^ {2} = 0, \\ x ^ {2} + y ^ {2} -4x-2y + 1 = 0 \ end {cases}}} ⇔ {\ displaystyle \ Leftrightarrow} {(X 2 - 2 ax + a 2) + (y 2 - 2 y + 1) = 9, (x 2 - 4 x + 4) + (y 2 - 2 y + 1) = 4 {\ displaystyle {\ begin {cases} (x ^ {2} -2ax + a ^ {2}) + (y ^ {2} -2y + 1) = 9, \\ (x ^ {2} -4x + 4) + (y ^ {2} -2y + 1) = 4 \ end {cases}}} ⇔ {\ displaystyle \ Leftrightarrow} {(Xa) 2 + (y - 1) 2 = 9, (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 4 {\ displaystyle {\ begin {cases} (xa) ^ {2} + ( y-1) ^ {2} = 9, \\ (x-2) ^ {2} + (y-1) ^ {2} = 4 \ end {cases}}}

Неважко здогадатися, що ці два рівності системи є не що інше, як рівняння кіл. перша окружність має центр в точці (a; 1) {\ displaystyle (a; 1)} , радіус 3 {\ displaystyle 3} , А друга центр в точці (2; 1) {\ displaystyle (2; 1)} і радіус 2 {\ displaystyle 2} . Якщо побудувати схематично ці кола в одній системі координат , То можна помітити, що їх спільних точок перетину буде дві в тому випадку, якщо a ∈ (- 3; 1) ∪ (3; 7) {\ displaystyle a \ in (-3; 1) \ cup (3; 7) } . І завдання можна вважати вирішеною.

Відповідь:

a ∈ (- 3; 1) ∪ (3; 7) {\ displaystyle a \ in (-3; 1) \ cup (3; 7)} . Приклад 3. При всіх a {\ displaystyle a} вирішити нерівність a x 2 + (a + 1) x + 1 ⩾ 0 {\ displaystyle ax ^ {2} + (a + 1) x + 1 \ geqslant 0} .

Рішення. Розглянемо три випадки:

1. Якщо a = 0 {\ displaystyle a = 0} , То нерівність набуває вигляду x + 1 ⩾ 0 ⇔ x ∈ [- 1; + ∞) {\ displaystyle x + 1 \ geqslant 0 \ Leftrightarrow x \ in [-1; + \ infty)} ;
2. Якщо a ⩾ 0 {\ displaystyle a \ geqslant 0} , То всі коефіцієнти квадратного тричлена будуть позитивні, значить, рішення нерівності можна представити у вигляді x ∈ (- ∞; x 1] ∪ [x 2; + ∞) {\ displaystyle x \ in (- \ infty; x_ {1}] \ cup [x_ {2 }; + \ infty)} , Де x 1 {\ displaystyle x_ {1}} , X 2 {\ displaystyle x_ {2}} - коріння многочлена і x 1 ⩽ x 2 {\ displaystyle x_ {1} \ leqslant x_ {2}} . Далі знаходимо: x 1 = - a - 1 - a 2 + 2 a + 1 - 4 a 2 a ⇔ x 1 = - a - 1 - | a - 1 | 2 a = {- 1, a ⩾ 1, - 1 a, 0 ⩽ a ⩽ 1 {\ displaystyle x_ {1} = {\ cfrac {-a-1 - {\ sqrt {a ^ {2} + 2a + 1 -4a}}} {2a}} \ Leftrightarrow x_ {1} = {\ cfrac {-a-1 | a-1 |} {2a}} = {\ begin {cases} -1, a \ geqslant 1, \\ - {\ tfrac {1} {a}}, 0 \ leqslant a \ leqslant 1 \ end {cases}}}

x 2 = {- 1 a, a ⩾ 1, - 1, 0 ⩽ a ⩽ 1 {\ displaystyle x_ {2} = {\ begin {cases} - {\ tfrac {1} {a}}, a \ geqslant 1 , \\ - 1,0 \ leqslant a \ leqslant 1 \ end {cases}}}

Отже, x ∈ (- ∞; - 1] ∪ [- 1 a; + ∞) {\ displaystyle x \ in (- \ infty; -1] \ cup [- {\ tfrac {1} {a}}; + \ infty)} , Якщо a ⩾ 1 {\ displaystyle a \ geqslant 1} і x ∈ (- ∞; - 1 a] ∪ [- 1; + ∞) {\ displaystyle x \ in (- \ infty; - {\ tfrac {1} {a}}] \ cup [-1; + \ infty)} , Якщо 0 ⩽ a ⩽ 1 {\ displaystyle 0 \ leqslant a \ leqslant 1} .

3. Якщо a ⩽ 0 {\ displaystyle a \ leqslant 0} , То гілки параболи спрямовані вниз, природно рішення в загальному вигляді буде виглядати ось так: x ∈ [x 1; x 2] ⇔ x ∈ [- 1; - 1 a] {\ displaystyle x \ in [x_ {1}; x_ {2}] \ Leftrightarrow x \ in [-1; - {\ tfrac {1} {a}}]} .

Нам залишається лише записати відповідь.

якщо a = 0 {\ displaystyle a = 0} , То x ∈ [- 1; + ∞) {\ displaystyle x \ in [-1; + \ infty)} ; якщо a ⩾ 1 {\ displaystyle a \ geqslant 1} , То x ∈ (- ∞; - 1] ∪ [- 1 a; + ∞) {\ displaystyle x \ in (- \ infty; -1] \ cup [- {\ tfrac {1} {a}}; + \ infty)} ; якщо 0 ⩽ a ⩽ 1 {\ displaystyle 0 \ leqslant a \ leqslant 1} , То x ∈ (- ∞; - 1 a] ∪ [- 1; + ∞) {\ displaystyle x \ in (- \ infty; - {\ tfrac {1} {a}}] \ cup [-1; + \ infty)} ; якщо a ⩽ 0 {\ displaystyle a \ leqslant 0} , То x ∈ [- 1; - 1 a] {\ displaystyle x \ in [-1; - {\ tfrac {1} {a}}]} .