Математика

  1. Цілі і методи [ правити | правити код ]
  2. Підстави [ правити | правити код ]
  3. Теоретико-множинний підхід [ правити | правити код ]
  4. логіцизм [ правити | правити код ]
  5. формалізм [ правити | правити код ]
  6. інтуіціонізм [ правити | правити код ]
  7. Конструктивна математика [ правити | правити код ]
  8. кількість [ правити | правити код ]
  9. перетворення [ правити | правити код ]
  10. структури [ правити | правити код ]
  11. Просторові відносини [ правити | правити код ]
  12. Дискретна математика [ правити | правити код ]
  13. Коди в системах класифікації знань [ правити | правити код ]

Математика ( грец. μᾰθημᾰτικά [1] <Μάθημα «вивчення; наука ») - наука про відносини між об'єктами, про які нічого не відомо, крім описують їх деяких властивостей, - саме тих, які в якості аксіом покладені в основу тієї чи іншої математичної теорії [2] . Історично склалася на основі операцій підрахунку, вимірювання та опису форми об'єктів [3] . математичні об'єкти створюються шляхом ідеалізації властивостей реальних або інших математичних об'єктів і записи цих властивостей на формальній мові. Математика не відноситься до природничих наук , Але широко використовується в них як для точного формулювання їх змісту, так і для отримання нових результатів. Математика - фундаментальна наука, що надає (загальні) мовні засоби інших наук; тим самим вона виявляє їх структурний взаємозв'язок і сприяє знаходженню найзагальніших законів природи [4] .

Ідеалізовані властивості досліджуваних об'єктів або формулюються у вигляді аксіом , Або перераховуються у визначенні відповідних математичних об'єктів. Потім за суворими правилами логічного висновку з цих властивостей виводяться інші справжні властивості ( теореми ). ця теорія в сукупності утворює математичну модель досліджуваного об'єкта. Таким чином, спочатку виходячи з просторових і кількісних співвідношень, математика отримує більш абстрактні співвідношення, вивчення яких також є предметом сучасної математики [5] .

Традиційно математика ділиться на теоретичну, що виконує поглиблений аналіз внутріматематіческіе структур, і прикладну, яка надає свої моделі іншим наукам і інженерним дисциплінам, причому деякі з них займають прикордонне з математикою положення. Зокрема, формальна логіка може розглядатися і як частина філософських наук , І як частина математичних наук; механіка - і фізика , І математика; інформатика , Комп'ютерні технології і алгоритміка відносяться як до інженерії , Так і до математичних наук і т. Д. У літературі було запропоновано багато різних визначень математики.

Слово «математика» походить від грец. μάθημα, що означає вивчення, знання, наука, і грец. μαθηματικός, спочатку означає сприйнятливий, встигає [6] , Пізніше що відноситься до вивчення, згодом відноситься до математики. Зокрема, μαθηματικὴ τέχνη, на латині ars mathematica, означає мистецтво математики. термін грец. μᾰθημᾰτικά в сучасному значенні цього слова «математика» зустрічається вже в працях Аристотеля (IV століття до н. Е.). На думку Фасмера в російську мову слово прийшло або через пол. matematyka, або через лат. mathematica [7] .

У текстах на російською мовою слово «математика» або «маѳематіка» зустрічається, принаймні, з XVII століття, наприклад, у Миколи Спафарія в «Книзі обраної коротко про дев'ять Мусах і про сім вільних художества» (1672 рік) [8]

Одне з перших визначень предмета математики дав Декарт [9] :

За радянських часів класичним вважалося визначення з Вікіпедія [11] : 464, дане А. Н. Колмогоровим :

це визначення Енгельса [12] ; правда, далі Колмогоров пояснює, що всі використані терміни треба розуміти в самому розширеному і абстрактному сенсі [11] : 476,477.

формулювання Бурбак [2] :

Герман Вейль песимістично оцінив можливість дати загальноприйняте визначення предмета математики:

1. Математика як навчальна дисципліна поділяється в Російської Федерації на елементарну математику , Досліджувану в середній школі і освічену дисциплінами:

і вищу математику , Досліджувану на нематематичних спеціальностях вузів. Дисципліни, що входять до складу вищої математики, варіюються в залежності від спеціальності.

Програма навчання за фахом математика [14] утворена наступними навчальними дисциплінами:

2. Математика як спеціальність наукових працівників Міністерством освіти і науки Російської Федерації [15] підрозділяється на спеціальності:

3. Для систематизації наукових робіт використовується розділ «Математика» [16] універсальної десяткової класифікації (УДК).

4. Американське математичне товариство ( AMS ) Виробило свій стандарт для класифікації розділів математики. Він називається Mathematics Subject Classification . Цей стандарт періодично оновлюється. Поточна версія - це MSC 2010 . Попередня версія - MSC 2000 .

Оскільки математика працює з надзвичайно різноманітними і досить складними структурами, система позначень в ній також дуже складна. Сучасна система запису формул сформувалася на основі європейської алгебраїчній традиції, а також потреб виникли пізніше розділів математики - математичного аналізу , математичної логіки , теорії множин та ін. Геометрія споконвіку користувалася наочним (геометричним ж) поданням. У сучасній математиці поширені також складні графічні системи запису (наприклад, комутативність діаграми ), Нерідко також застосовуються позначення на основі графів .

академіком А. Н. Колмогоровим запропонована така структура історії математики:

  1. Період зародження математики, протягом якого був накопичений чималий фактичний матеріал;
  2. Період елементарної математики, що починається в VI - V століттях до н. е. і завершується в кінці XVI століття ( «Запас понять, з якими мала справу математика до початку XVII століття , Становить і до теперішнього часу основу "елементарної математики", що викладається в початковій і середній школі »);
  3. Період математики змінних величин, що охоплює XVII - XVIII століття , «Який можна умовно назвати також періодом" вищої математики "»;
  4. Період сучасної математики - математики XIX - XX століття , В ході якого математикам довелося «поставитися до процесу розширення предмета математичних досліджень свідомо, поставивши перед собою завдання систематичного вивчення з досить загальної точки зору можливих типів кількісних відносин і просторових форм».

Розвиток математики почалося разом з тим, як людина стала використовувати абстракції скільки-небудь високого рівня. Проста абстракція - числа ; осмислення того, що два яблука і два апельсини, незважаючи на всі їхні відмінності, мають щось спільне, а саме займають обидві руки однієї людини, - якісне досягнення мислення людини. Крім того, що стародавні люди дізналися, як рахувати конкретні об'єкти, вони також зрозуміли, як обчислювати і абстрактні кількості, такі, як час : дні , сезони , року . З елементарного рахунку природним чином почала розвиватися арифметика : складання , віднімання , множення і поділ чисел.

Розвиток математики спирається на писемність і вміння записувати числа. Напевно, стародавні люди спочатку висловлювали кількість шляхом малювання рисок на землі або видряпували їх на деревині. стародавні інки , Не маючи іншої системи писемності, представляли і зберігали числові дані, використовуючи складну систему мотузяних вузлів, так звані стос . Існувало безліч різних систем числення . Перші відомі записи чисел були знайдені в папірусі Ахмеса , створеному єгиптянами середнього царства . Індська цивілізація розробила сучасну десяткову систему числення , Що включає концепцію нуля .

Історично основні математичні дисципліни з'явилися під впливом необхідності вести розрахунки в комерційній сфері, при вимірюванні земель і для передбачення астрономічних явищ і, пізніше, для вирішення нових фізичних задач. Кожна з цих сфер відіграє велику роль в широкому розвитку математики, що полягає у вивченні структур , просторів і змін.

Цілі і методи [ правити | правити код ]

Математика вивчає уявні, ідеальні об'єкти і співвідношення між ними, використовуючи формальну мову. У загальному випадку математичні поняття і теореми не обов'язково мають відповідність чого-небудь у фізичному світі. Головне завдання прикладного розділу математики - створити математичну модель , Досить адекватну досліджуваного реального об'єкта. Завдання математика-теоретика - забезпечити достатній набір зручних засобів для досягнення цієї мети.

Зміст математики можна визначити як систему математичних моделей та інструментів для їх створення. Модель об'єкта враховує не всі його риси, а тільки найнеобхідніші для цілей вивчення (ідеалізовані). Наприклад, вивчаючи фізичні властивості апельсина, ми можемо абстрагуватися від його кольору та смаку і представити його (нехай не ідеально точно) кулею. Якщо ж нам треба зрозуміти, скільки апельсинів вийде, якщо ми складемо разом два і три, - то можна абстрагуватися і від форми, залишивши у моделі тільки одну характеристику - кількість. абстракція і встановлення зв'язків між об'єктами в найзагальнішому вигляді - один з головних напрямків математичного творчості.

Інший напрямок, поряд з абстрагуванням - узагальнення . Наприклад, узагальнюючи поняття « простір »До простору n-вимірів. «Простір R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} Інший напрямок, поряд з абстрагуванням -   узагальнення , При n> 3 {\ displaystyle n> 3} є математичною вигадкою. Втім, досить геніальної вигадкою, яка допомагає математично розбиратися в складних явищах ». [17]

Вивчення внутріматематіческіе об'єктів, як правило, відбувається за допомогою аксіоматичного методу : Спочатку для досліджуваних об'єктів формулюються список основних понять і аксіом , А потім з аксіом за допомогою правил виведення отримують змістовні теореми , В сукупності утворюють математичну модель.

Підстави [ правити | правити код ]

Питання сутності та підстав математики обговорювався з часів Платона . Починаючи з XX століття спостерігається порівняльне згоду в питанні, що слід вважати суворим математичним доказом , Проте відсутня згода в розумінні того, що в математиці вважати спочатку істинним. Звідси випливають розбіжності як в питаннях аксіоматики і взаємозв'язку галузей математики, так і у виборі логічних систем , Якими слід при доказах користуватися.

Крім скептичного, відомі нижчеперелічені підходи до даного питання.

Теоретико-множинний підхід [ правити | правити код ]

Пропонується розглядати всі математичні об'єкти в рамках теорії множин, найчастіше з аксіоматикою Цермело - Френкеля (Хоча існує безліч інших, рівносильних їй). Даний підхід вважається з середини XX століття переважаючим, проте в дійсності більшість математичних робіт не ставлять завдань перевести свої твердження строго на мову теорії множин, а оперують поняттями і фактами, встановленими в деяких областях математики. Таким чином, якщо в теорії множин буде виявлено протиріччя, це не спричинить за собою знецінення більшості результатів.

логіцизм [ правити | правити код ]

Даний підхід передбачає сувору типізацію математичних об'єктів. Багато парадокси, уникаючі в теорії множин лише шляхом спеціальних прийомів, виявляються неможливими в принципі.

формалізм [ правити | правити код ]

Даний підхід передбачає вивчення формальних систем на основі класичної логіки .

інтуіціонізм [ правити | правити код ]

Інтуіціонізм передбачає в підставі математики інтуїционістському логіку , Більш обмежену в засобах докази (але, як вважається, і більш надійну). інтуіціонізм відкидає доказ від протилежного , Багато неконструктивні докази стають неможливими, а багато проблем теорії множин - безглуздими (неформалізуємим).

Конструктивна математика [ правити | правити код ]

Конструктивна математика - близьке до інтуїционізма протягом в математиці, що вивчає конструктивні побудови [ прояснити ]. Згідно з критерієм конструктивності - «існувати - значить бути побудованим». [18] Критерій конструктивності - більш сильне вимога, ніж критерій несуперечності. [19]

кількість [ правити | правити код ]

Основний розділ, який би розглядав абстракцію кількості - алгебра . Поняття «число» спочатку зародилося з арифметичних уявлень і відносилося до натуральним числам . Надалі воно, за допомогою алгебри , Було поступово поширене на цілі , раціональні , дійсні , комплексні і інші числа.

1, - 1, 1 2, 2 3, 0, 12, ... {\ displaystyle 1, \; - 1, \; {\ frac {1} {2}}, \; {\ frac {2} {3} }, \; 0 {,} 12, \; \ ldots} 1, - 1, 1 2, 2 3, 0, 12, раціональні числа 1, - 1, 1 2, 0, 12, π, 2, ... {\ displaystyle 1, \; - 1, \; {\ frac {1} {2}}, \; 0 {,} 12, \; \ pi, \; {\ sqrt {2}}, \; \ ldots} речові числа - 1, 1 2, 0, 12, π, 3 i + 2, ei π / 3, ... {\ displaystyle -1, \; {\ frac {1} {2}}, \; 0 {,} 12, \; \ pi, \; 3i + 2, \; e ^ {i \ pi / 3}, \; \ ldots} 1, i, j, k, π j - 1 2 k, ... {\ displaystyle 1, \; i, \; j, \; k, \; \ pi j - {\ frac {1} {2}} k , \; \ dots} Комплексні числа кватерніони

числа - Натуральні числа - Цілі числа - раціональні числа - ірраціональні числа - алгебраїчні числа - трансцендентні числа - речові числа - Комплексні числа - Гіперкомплексні числа - кватерніони - октоніонов - седеніони - гіперреальну числа - сюрреального числа - p -адіческіе числа - математичні постійні - назви чисел - нескінченність - бази

перетворення [ правити | правити код ]

Явища перетворень і змін в найзагальнішому вигляді розглядає аналіз .

арифметика - векторний аналіз - аналіз - теорія міри - Диференційне рівняння - динамічні системи - Теорія хаосу

структури [ правити | правити код ]

теорія множин - Лінійна алгебра - Загальна алгебра (Включає, зокрема, теорію груп , універсальну алгебру , теорію категорій ) - алгебраїчна геометрія - теорія чисел - топологія .

Просторові відносини [ правити | правити код ]

Основи просторових відносин розглядає геометрія . тригонометрія розглядає властивості тригонометричних функцій . Вивченням геометричних об'єктів за допомогою математичного аналізу займається диференціальна геометрія . Властивості просторів, що залишаються незмінними при безперервних деформаціях і саме явище безперервності вивчає топологія .

геометрія - тригонометрія - алгебраїчна геометрія - топологія - Диференціальна геометрія - алгебраїчна топологія - Лінійна алгебра - фрактали - теорія міри .

Дискретна математика [ правити | правити код ]

Дискретна математика включає засоби дослідження об'єктів, здатних приймати тільки окремі (дискретні) значення (тобто об'єктів, які не здатні змінюватися плавно). [20]

комбінаторика - теорія множин - теорія решіток - математична логіка - теорія обчислюваності - криптографія - Теорія функціональних систем - теорія графів - теорія алгоритмів - Логічні обчислення - Інформатика .

Коди в системах класифікації знань [ правити | правити код ]

Існує велика кількість сайтів, що надають сервіс для математичних розрахунків. Більшість з них англомовні. [22] З російськомовних можна відзначити сервіс математичних запитів пошукової системи Nigma .

Математичні програми багатогранно:

  • Пакети, орієнтовані на набір математичних текстів і на їх подальшу верстку ( TeX ).
  • Пакети, орієнтовані на рішення математичних задач, чисельне моделювання та побудова графіків ( GNU Octave , Maple , Mathcad , MATLAB , Scilab ).
  • електронні таблиці .
  • Окремі програми або пакети програм, які використовують математичні методи (калькулятори, архіватори, протоколи шифрування / дешифрування, системи розпізнавання образів, кодування аудіо і відео).

популяризатори науки

  1. μαθηματικα, μαθηματικα переклад (неопр.). www.classes.ru. Дата звернення 20 вересня 2017.
  2. 1 2 Бурбак Н. Архітектура математики. Нариси з історії математики / Переклад І. Г. Башмакова під ред. К. А. Рибникова. М .: ІЛ, 1963. С. 32, 258.
  3. mathematics | Definition & History (англ.), Encyclopedia Britannica. Дата звернення 20 вересня 2017.
  4. Глава 2. Математика як мова науки (неопр.) (Недоступна посилання). Сибірський відкритий університет. Дата обігу 5 жовтня 2010 року. Читальний зал 2 лютого 2012 року.
  5. Панов В. Ф. Математика древня і юна. - Изд. 2-е, виправлене. - М.: МГТУ ім. Баумана , 2006. - С. 581-582. - 648 с. - ISBN 5-7038-2890-2 .
  6. Великий давньогрецький словник (αω) (неопр.) (Недоступна посилання). slovarus.info. Дата звернення 20 вересня 2017. Читальний зал 12 лютого 2013 року.
  7. Математика (неопр.). classes.ru. Дата звернення 20 вересня 2017.
  8. Словник російської мови XI-XVII ст. Випуск 9 / Гл. ред. Ф. П. Філін . - М.: наука , 1982. - С. 41.
  9. Декарт Р. Правила для керівництва розуму. М.-Л .: Соцекгіз, 1936.
  10. René Descartes 'Regulae ad directionem ingenii. Nach der Original-Ausgabe von 1701 herausgegeben von Artur Buchenau . - Leipzig , 1907. - P. 13.
  11. 1 2 Математика / А. Н. Колмогоров // Велика Радянська Енциклопедія / Гл. ред. Б. А. Введенський . - 2-е вид. - М.: Державне наукове видавництво «Велика Радянська Енциклопедія», 1954. - Т. 26: Магнітка - Медуза. - С. 464-483. - 300 000 прим.
  12. «Чиста математика має своїм об'єктом просторові форми і кількісні відношення дійсного світу» в джерелі: Маркс К., Енгельс Ф. Анти-Дюрінг // Твори. - 2-е вид. - М.: Державне видавництво політичної літератури, 1961. - Т. 20. - С. 37. - 130 000 прим.
    Оригінал цитати (нім.) - "Die reine Mathematik hat zum Gegenstand die Raumformen und Quantitätsverhältnisse der wirklichen Welt " - в джерелі: Friedrich Engels. Herrn Eugen Dühring's Umwälzung der Wissenschaft . - Leipzig , 1878. - P. 20.
  13. Герман Вейль // Клайн М. Математика. втрата визначеності . - М.: Мир, 1984. - С. 16. архівна копія від 12 лютого 2007 на Wayback Machine
  14. Державний освітній стандарт вищої професійної освіти. Спеціальність 01.01.00. «Математика». Кваліфікація - Математик. Москва, 2000 (Складено під керівництвом О. Б. Лупанова )
  15. Номенклатура спеціальностей наукових працівників , Затверджена наказом Міністерства освіти та науки Росії від 25.02.2009 № 59
  16. УДК 51 Математика
  17. Я. С. Бугров, С. М. Нікольський. Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії. М .: Наука, 1988. С. 44.
  18. Н. І. Кондаков. Логічний словник-довідник. М .: Наука, 1975. С. 259.
  19. Г. І. Рузавин. Про природу математичного знання. - М., 1968.
  20. Renze, John; Weisstein, Eric W. Discrete Mathematics (Англ.) На сайті Wolfram MathWorld .
  21. Електронна бібліотека LibOk.Net - читати онлайн і скачати книги безкоштовно (неопр.). www.gsnti-norms.ru. Дата звернення 20 вересня 2017.
  22. наприклад: http://mathworld.wolfram.com

енциклопедії Довідники

  • А. А. Адамов, А. П. Віліжанін, Н. М. Гюнтер, А. Н. Захаров, В. М. Меліоранський, В. Ф. Точинський, Я. В. Успенський. Збірник завдань з вищої математики викладачів Інституту Інженерів Шляхів Сполучення. - СПб. , 1912.
  • Шахно К. У. Довідник з елементарної математики. - Л., 1955.
  • Г. Корн, Т. Корн. Довідник з математики для науковців та інженерів . - М., 1973.

книги Цікава математика

  • Бобров С. П. чарівний дворога . - М.: Дитяча література, 1967. - 496 с.
  • Дьюдени Г. Е. Кентерберійські головоломки; 200 знаменитих головоломок миру; П'ятсот двадцять головоломок.
  • Керрол Л. Історія з вузликами; Логічна гра.
  • Таунсенд Чарлз Баррі. Зоряні головоломки; Найвеселіші головоломки; Найважчі головоломки із старовинних журналів.
  • Перельман Я. І. Цікава математика.

Новости
Слова жизни
Фотогалерея